公理体系的数学发展---论证过程的形式化

希尔伯特 公理体系

在处理了几何学所要研究的对象之后，希尔伯特非常智慧地通过公理的形式给出了描述对象之间关系的术语，事实上，要明晰地定义这些术语是非常困难地。这几个术语是这样被希尔伯特确定的：

第一组公理：关联公理

（1）对于两点A和B，恒有一直线a，它同A和B这两点的每一点相关联

（2）对于两点A和B，至多有一直线，它同A和B这两点的每一点相关联

（3）一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上

（4）对于不在同一直线上的任意三点A,B和C，恒有一平面α，它同A,B和C这三点的每一点相关联

（5）对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，至多有一平面，它同A,B和C这三点的每一点相关联

（6）若直线a上的两点A和B在一平面α上，则a的每一点都在平面α上

（7）若两平面α和β有一公共点A，则它们至少还有一公共点B

（8）至少有四点不在同一平面上

第二组公理：顺序公理

（1）若点B在点A和点C之间，则A,B和C是同一直线上的不同的三点，这时，B也在C和A之间

（2）对于两点A和C，直线AC上至少有一点B，使得C在A和B之间

（3）一直线上任意三点中，至多有一点在其他两点之间

（4）设A，B和C是不在同一直线上的三点：设a是平面ABC的一直线，但不通过A，B和C这三点中的任一点，若直线a通过线段AB的一点，则它必定也通过线段AC的一点，或者线段BC的一点

第三组公理：合同公理

（1）设A和B是一直线a上的两点，A’是这直线或另一直线a’上的一点，而且给定了直线a’上A’的一侧，则在直线a’上A’的这一侧，恒有一点B’，使得线段AB和线段A’B’合同或者想等，用记号表示，即AB≡A’B’

（2）若线段A’B’和A’’B’’都和另一线段AB合同，则这两线段A’B’和A’’B’’也合同。简言之，若两线段都和第三线段合同，则它们彼此也合同

（3）设线段AB和BC在同一直线a上无公共点，而且线段A’B’和B’C’在同一直线a’上亦无公共点。若AB=A’B’而且BC=B’C’，则AC=A’C’

（4）设给定了一平面α上的一个角∠（h,k），一平面α’上的一直线a’，以及α’上a’的一侧。设h'是a’上的从一点O’起始的一条射线，则平面α’上恰有一条射线k’，使∠（h,k）与∠（h’,k’）合同或相等，而且使∠（h’,k’）的内部在a’的这给定了的一侧，用记号表示，即∠（h,k）≡∠（h’,k’）。每一个角与它自己合同，即∠（h,k）≡∠（h,k）

（5）若两个三角形ABC和A’B’C’有下列合同式：AB≡A’B’，AC≡A’C’，∠BAC≡∠B’A’C’，则 也有合同式∠ABC≡∠A’B’C’

第四组公理：平行公理（欧几里得公理）

设a是任一直线，A是a外的任一点。在a和A所决定的平面上，至多有一条直线通过A，而且不和a相交

第五组公理：连续公理

（1）（阿基米德公理）若AB和CD是任意两线段，则必存在一个数n使得沿A到B的射线上，自A作首尾相接的n个线段CD，必将越过B点

（2）（直线完备公理）一直线上的点集连同其顺序关系与合同关系不可能再扩充，使得这直线上原来元素之间所具有的关系，从第一组公理到第三组公理所推出的直线顺序与合同的基本性质，以及第五组公理（1）都仍旧保持。

希尔伯特的这个公理体系要比欧几里得公理体系庞杂得多，但也完全弥补了两千多年来人们研究欧几里得公理体系时发现的漏洞。我们简单地分析一下这些公理。

第一组公理（关联公理）的核心是规定了研究对象之间的隶属关系，即规定了现代数学中最基本的概念“属于”，从而建立了已经定义了的点，直线，平面这三组对象之间的关系。在现代集合论中，首先要确定的概念也是“属于”，当然在集合论那里，最难处理的概念之一也是“属于”，正是因为这个概念引发了许多悖论，我们将在第三辑《数学中的演绎推理》中仔细地讨论这个问题。

第二组公理（顺序公理）的核心是规定了直线上点之间位置的顺序关系，这些公理来源于帕斯的《新几何讲义》。前三个公理是在说，在直线上三个不同的点，有且仅有一个点在其他两个点之间；第四个公理在说，一条直线进到三角形的内部则必然还要出去，蕴含着这条直线不能与三角形的三个边都相交，从而引入了平面结构。几乎在现代数学的各个分支，顺序关系（包括大小关系，前后关系）都是非常重要的，这是数学所研究对象之间的一个根本性的关系。

第三者公理（合同公理）的核心是规定了研究对象之间的相等关系，即欧几里得几何中所说的全等的概念。前三条公理是关于线段的全等，第四个公理是关于角度的全等，第五个公理是关于线段，角度全等关系的复合。通过这些公理可以证明出判定三角形全等的“边角边”，“角边角”，“边边边”定理。进一步，虽然不明确但合同公理中也规定了运动的概念，通过“存在”代替了欧几里得几何中重合的概念。

第四组公理（平行公理）的核心是规定了平行线的唯一性，并且只有这一个假设。如我们在前面所讨论过的，如果否定这个假设则可以构成罗巴切夫斯基几何。

第五组公理（连续公理）的核心是引进了无穷集合的概念。在这本著作的第一版中，只有阿基米德公理，后来在法国数学家庞加莱（1954-1912）的建议下加上了直线完备公理。理由是这样的：如果利用笛卡尔直角坐标系x,y,z来表示欧几里得几何，并且只保留x,y,z取代数数的那些点，于是得到了一个“多孔”的空间，显然在这个空间中希尔伯特的其余公理仍然成立，可是这个空间本身是不完备的，因此需要加上连续公理。虽然在希尔伯特这部著作的以后章节中，这个公理始终没有被用到，希尔伯特解释说：“但是加上了完备公理，就能证明相当于戴德金分割的确界的存在”。正是因为这个公理没有被用到，这就说明希尔伯特是在庞加莱所说的“多孔”的空间上构建了他的几何，由此可以推断，“完备”这个概念完全是人为定义出来的，而不是现实世界中必然的“存在”。更有趣的事实是，在这里希尔伯特关于直线的完备依赖于实数的完备，可人们在证明实数的连续性（完备）时，又用到了直线连续的直观。

这样，希尔伯特就构建了一个形式化的几何公理体系，在这个公理体系中，我们能够体会出“形式化”的含义：不管我们讨论的对象的实质是什么，只要从已经定义了的，用符号表示的对象出发，依据上述几组公理以及认定的逻辑法则推导出的结论就一定是正确的，这或许就是理想中的，脱离了经验的数学。