高中数学小题专练·(十三) 统计与统计案例

一、选择题

1.某校高一、高二、高三年级学生人数分别是 400,320,280。采

用分层抽样的方法抽取 50 人，参加学校举行的社会主义核心价值观

知识竞赛，则样本中高三年级的人数是( )

A.20 B.16

C.15 D.14

答案 D

解析 高三年级的人数是 280

400+320+280

×50=14 人。故选 D。

2.(2017·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地

作试验田。这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，…，xn，下

面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

( )

A.x1，x2，…，xn的平均数

B.x1，x2，…，xn的标准差

C.x1，x2，…，xn的最大值

D.x1，x2，…，xn的中位数

答案 B

解析 标准差能反映一组数据的稳定程度。故选 B。

3.(2017·武邑中学五模)某初级中学领导采用系统抽样方法，从

该校预备年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查。现将

800 名学生从 1 到 800 进行编号，求得间隔数 k=

800

50 =16，即每 16

人抽取一个人。在 1～16 中随机抽取一个数，若抽到的是 7，则从 33～

48 这 16 个数中应取的数是( )

A.40 B.39

C.38 D.37

答案 B

2

解析 由于系统抽样是等距抽样，由题设知从 33～48 这 16 个数

中应取的数是 7+2×16=39。故选 B。

4.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：

今有北乡八千一百人，西乡七千五百人，南乡六千九百人，凡三乡，

发役三百人，则北乡遣( )

A.104 人 B.108 人

C.112 人 D.120 人

答案 B

解析 由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡抽取的人

数为 300×

8 100

8 100+7 500+6 900

=300×

8 100

22 500=108。故选 B。

5.(2017·新乡二模)已知某居民小区户主人数和户主对户型结构

的满意率分别如图①和图②所示，为了解该小区户主对户型结构的满

意程度，用分层抽样的方法抽取 20%的户主进行调查，则样本容量和

抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )

A.100,8 B.80,20

C.100,20 D.80,8

答案 A

解析 由题设及扇形统计图可知样本容量是 100，其中对四居室

满意的人数为 20%×100×40%=8。故选 A。

3

6.据我国西部各省(区、市)2016 年人均地区生产总值(单位：千

元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间

[28,38)上的频率是( )

A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.7

答案 A

解析 由频率分布直方图得人均地区生产总值在区间[28,38)上

的频率为：1-(0.08+0.06)×5=0.3。故选 A。

7.一组数据共有 7 个数，记得其中有 10,2,5,2,4,2，还有一个数

没记清，但知道这组数的平均值、中位数、众数依次成等差数列，这

个数的所有可能值的和为( )

A.-11 B.3 C.9 D.17

答案 C

解析 设没记清的数为 x，对 x 进行讨论。若 x≤2，则这列数为

x,2,2,2,4,5,10，平均数为

25+x

7 ，中位数为 2，众数为 2，所以 2×2=

25+x

7 +2，x=-11。若 2

25+x

7 +2，

解得 x=3，若 x≥4，则中位数为 4，此时 2×4=

25+x

7 +2，解得 x

=17，故所有可能值为-11,3,17，其和为-11+3+17=9。

4

8.在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选

手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，

所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.5 和 1.6 B.85 和 1.6

C.85 或 0.4 D.5 和 0.4

答案 B

解析 去掉最高分和最低分后数据的平均分的个位数 为

4+4+4+6+7

5 =5，所以平均分为 85，方差为

(84-85)

2×3+(86-85)

2+(87-85)

2

5 =1.6，故选 B。

9.(2017·广东佛山模拟)本学期王老师任教两个平行班高三 A 班、

高三 B 班、两个班都是 50 名学生，如图反映的是两个班在本学期 5

次数学测试中的班级平均分对比，根据图表判断下列不正确的结论是

( )

5

A.A 班的数学成绩平均水平好于 B 班

B.B 班的数学成绩没有 A 班稳定

C.下次考试 B 班的数学平均分数高于 A 班

D.在第 1 次考试中，A，B 两个班的总平均分为 98

答案 C

解析 由图可得 x

-

A=

101+98+101+100+105

5 =101， x

-

B=

95+100+96+105+100

5 =99.2，即 x

-

A> x

-

B，即 A 班的数学成绩平均

水平好于 B 班，排除 A;由图可得 B 波动大，即 B 班的数学成绩没

有 A 班稳定，排除 B;在第 1 次考试中，A，B 两个班的总平均分为

x

-=

101+95

2 =98，排除 D，故选 C。

10.(2017·兰州市诊断考试)已知某种商品的广告费支出 x(单位：

万元)与销售额 y(单位：万元)之间有如下对应数据：

x 2 4 5 6 8

y 30 40 50 m 70

根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归

6

方程为y

^=6.5x+17.5，则表中 m 的值为( )

A.45 B.50

C.55 D.60

答案 D

解析 x

-=

2+4+5+6+8

5 =5 ， y

-=

30+40+50+m+70

5 =

190+m

5 ，∵当 x

-=5 时，y

-=6.5×5+17.5=50，∴

190+m

5 =50，解得

m=60。

11.(2017·湖北七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响。

某电商对连续 5 个年度的广告费 x 和销售额 y 进行统计，得到统计数

据如下表(单位：万元)：

广告费 x 2 3 4 5 6

销售额 y 29 41 50 59 71

由上表可得回归方程为y

^=10.2x+a

^

，据此模型，预测广告费为

10 万元时销售额约为( )

A.101.2 万元 B.108.8 万元

C.111.2 万元 D.118.2 万元

答案 C

解析 根据统计数据表，可得 x

-=

1

5×(2+3+4+5+6)=4，y

-=

1

5×(29+41+50+59+71)=50，而回归直线y

^=10.2x+a

^

经过样本点

的中心(4,50)，∴50=10.2×4+a

^

，解得a

^=9.2，∴回归方程为y

^=10.2x

+9.2，∴当 x=10 时，y=10.2×10+9.2=111.2，故选 C。

12.(2017·邵阳二模)假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表：

7

对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一

组为( )

A.a=45，c=15 B.a=40，c=20

C.a=35，c=25 D.a=30，c=30

答案 A

解析 根据 2×2 列联表与独立性检验的应用问题，当 a

a+10

与

c

c+30

相差越大，X 与 Y 有关系的可能性越大：即 a、c 相差越大， a

a+10

与

c

c+30

相差越大。故选 A。

二、填空题

13.为调查德克士各分店的经营状况，某统计机构用分层抽样的

方法，从 A，B，C 三个城市中抽取若干个德克士组成样本进行深入

研究，有关数据见下表：(单位：个)

城市 德克士 抽取数量

A 26 2

B 13 x

C 39 y

则样本容量为________。

8

答案 6

解析 设所求的样本容量为 n，依题意有 n

26+13+39

=

2

26，解得

n=6。

14.空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)是定量描述空气质

量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级，0～50 为优;51～

100 为良;101～150 为轻度污染;151～200 为中度污染;201～300

为重度污染;大于 300 为严重污染。一环保人士从当地某年的 AQI

记录数据中，随机抽取 10 个，用茎叶图记录如图。根据该统计数据，

估计此地该年 AQI 大于 100 的天数约为________。(该年为 365 天)

答案 146

解析 该样本中 AQI 大于 100 的频数为 4，频率为2

5，以此估计

此地全年 AQI 大于 100 的频率为2

5，故此地该年 AQI 大于 100 的天数

约为 365×

2

5=146(天)。

9

15.心理学家分析发现空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小

组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取 50 名同

学(男 30 女 20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自

由选择一道题进行解答。选题情况如下表：(单位：人)

几何题 代数题 总计

男同学 22 8 30

女同学 8 12 20

总计 30 20 50

根据以上数据能判断有________的把握认为空间想象能力与性

别有关。

附表及公式：

P(K

2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

K

2=

n(ad-bc)

2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

答案 97.5%

解 析 由 2×2 列联表中数据得 K

2 的 观 测 值 k =

50×(22×12-8×8)

2

30×20×30×20 =

50

9 ≈5.556>5.024，

所以有 97.5%的把握认为空间想象能力与性别有关。

16.(2017·成都第二次诊断)在一个容量为 5 的样本中，数据均为

整数，已测出其平均数为 10，但墨水污损了两个数据，其中一个数

据的十位数字 1 未被污损，即 9,10,11,1 ■ ，那么这组数据的方差 s

2

可能的最大值是________。

答案 32.8

解析 由题意可设两个被污损的数据分别为 10+a，b，(a，b∈

Z,0≤a≤9)，则 10+a+b+9+10+11=50，即 a+b=10，a=10-b，

10

所以 s

2=

1

5

[(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(10+a-10)2+(b-10)2

]

=

1

5

[2+a

2+(b-10)2

]=

2

5

(1+a

2

)≤

2

5×(1+9

2

)=32.8。