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第十章 弯曲梁的设计 第一节 梁平面弯曲的概念和弯曲内力 一、弯曲的概念 工程实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1，图10.1.2所示，这类杆件受力的共同特点是外力(横向力)与杆轴线相垂直，变形时杆轴线由直线变成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。   图10.1.1 火车轮轴 图10.1.2 起重机大梁 工程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图10.1.3所示。  图10.1.3 梁的纵向对称 1/44页 如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只讨论平面弯曲问题。 二、梁的计算简图及基本形式 梁上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学简化。 (一)、梁的简化 为了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。 (二)、荷载分类 作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型: 1 、集中荷载 当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4(a)所示，其单位为牛(N)或千牛(kN)。 2 、集中力偶 当梁的某一小段内(其长度远远小于梁的长度)受到力偶的作用，可简化为作用在某一截面上的力偶，称为集中力偶。如图10.1.4(b)所示。它的单位为牛?米 (N?m)或千牛?米(kN?m)。 3 、均布载荷 沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度 q 表示，均布集度 q 为常数。如图10.1.4(c)所示。其单位为牛,米( N , m )或千牛,米( k , m )。 (三)、梁的基本形式 按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式:固定铰链支座、活动铰链支座和固定端支座。这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般可把梁简化为以下三种基本形式。 1 、简支梁 梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1.5(a)。 2 、外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。如图10.1.5(b) 3 、悬臂梁 一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁。如图10.1.5(c) 2/44页   图10.1.4 载荷类 图10.1.5 梁的类 以上三种梁的未知约束反力最多只有三个，应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。 三、 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩计算 作用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都由静力平衡条件求得。在外载荷的作用下，梁要产生弯曲变形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截面上内力的方法是截面法。  图10.1.6 截面法求梁的内 PP12如图10.1.6所示的简支梁，受集中力和作用。为了求出距A端支座为x处横截面m-m上的内力，首先按静力学中的平衡方程求出支座反力R、R。然后用截面法沿m-m截面假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象(图10.1.6(b))。AB 因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m上必有一个与截面相切的内力Q来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用;又因为R与PA1对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面m-m上必有一个位于载荷平面的内力偶，其力矩为M，来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。由此可见，梁弯曲时，横 3/44页 截面上一般存在两个内力因素，其中Q称为剪力，M称为弯矩。 剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。 R,P,Q,0A1 由 ΣFy = 0 得 Q,R,PA1 M,Rx，P(x,a),0A1 由 ΣMC = 0 得 M,Rx,p(x,a)A1 式中，C 为横截面的形心。 ,Q,M 若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力 和弯矩，并且它们分别与 Q 和 M 数值相等、方向相反。 剪力和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图10.1.7所示。凡使梁段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图10.1.8所示。   图10.1.7 剪力的符 图10.1.8 弯矩的 综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则: 4/44页 对于剪力:梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和;正负号由“外力左上右下，产生的剪力为正”确定。 对于弯矩:梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号由“外力矩左顺右逆，产生的弯矩为正”确定。 利用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。 p,1kNq,4kN/mm,1kN,m例10.1.1 简支梁受集中力，力偶，均布载荷，如图10.1.9所示，试求?-?和?-?截面上的剪力和弯矩。  图10.1.9 简支梁 解:(1)求支座反力。 M(F),0,P，750,R，1000,m，q，0.5，250,0,BA 即 R,250NA可得 F,0,R,P,q，0.5，R,0,yAB 即 R,2750NB可得 (2)计算剪力和弯矩(应取简单的一侧为研究对象)。 Q,R,250N1A?-? M,R，200,250，0.2,50N,m1A 5/44页 |
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