《工程力学》辅导-5.弯曲-(2)应力与强度条件

阅读对象

正在学习《工程力学》课程的学生；从事与力学相关的工程技术人员。

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（1）平面图形的几何性质

（2）弯曲内力

由梁的内力分析可知，一般情况下梁的横截面上既有弯矩M又有剪力Fs。对应的应力既有正应力又有切应力。 

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纯弯曲

若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。

纯弯曲梁只有正应力，没有切应力。

应力推导过程与杆件的拉压和扭转类似:

试验→观察表面现象→应力假设→静力等效得出应力公式。

1.两个假设

平面假设：梁变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后梁的轴线；

单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压。

2.中性轴

梁受力变形过程中必有一层纤维，变形前后长度不变，这层纤维称为中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴通过横截面形心。

（3）正应力

其中：为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面对中性轴的惯性矩。

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横力弯曲正应力

梁横截面上既又弯矩又有剪力时的弯曲称为横力弯曲。

1.横力弯曲的特点

横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力。 

切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。 

2.正应力 

虽然横力弯曲与纯弯曲不同，纯弯曲时的正应力计算公式一般可以用于横力弯曲梁，即正应力公式仍使用

此公式的适用范围：

· 在弹性变形范围内；

· 长梁（跨高比≥5）；

· 平面弯曲；

· 直梁。

3.最大正应力 

最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处

称为抗弯截面系数。

不同截面形状的抗弯截面系数 

对于中性轴不是对称轴的横截面，应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴的距离计算最大拉压应力。如

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横力弯曲的切应力

切应力由横截面上的剪力引起，比正应力复杂，不同的截面形状有不同的分布规律。

1.矩形截面梁

（1）基本假设 

横截面上的切应力方向与剪力Fs平行；

切应力沿截面宽度均匀分布。 

（2）切应力公式

其中：

为横截面上的剪力；为整个横截面对中性轴的惯性矩；为矩型截面的宽度； 为距中性轴为的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩。

沿高度按抛物线规律变化。

为矩形截面的面积。 

2.工字形截面梁

公式与矩形截面梁一样

其中：为腹板的厚度。

腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化，最大切应力也在中性轴上。这也是整个横截面上的最大切应力。

3.圆截面梁

在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。沿宽度上各点处的切应力均汇交于点；各点处切应力沿方向的分量沿宽度相等；最大切应力发生在中性轴上

为圆截面面积. 

4.圆环形截面梁

横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；切应力的方向与圆周相切；最大的切应力发生中性轴上

A为圆环截面面积。

5.其它截面梁

其它非对称截面切应力比较复杂，甚至最大切应力不一定发生在中性轴上。对于T型截面和匚型截面梁，可利用工字型截面梁的公式

各个符号的意义也与工字型截面一样。最大切应力也发生在中性轴上。

04

强度条件

1.正应力强度条件

与杆的拉压和扭转一样，利用强度条件可以进行强度校核、截面设计和确定许用荷载。对于拉压确定不同的梁，应分别进行强度设计。

2.切应力强度条件

通常情况下，只需要对弯曲梁进行正应力强度设计。但有几种特殊情况需要进行切应力强度校核：

（1）短梁或称深梁（梁的跨度较短），弯矩 较小，而剪力较大；

（2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时； 

（3）各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差时。

    例1：铸铁梁受荷载及截面情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩=403×10m，铸铁抗拉强度 =50MPa，抗压强度 =125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。

解：（1）画出弯矩图

（2）计算截面最大应力

均满足强度要求。

      例2：为了起吊重量为＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度=4m，型钢材料的许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：

（1）加在辅助梁的什么位置才能保证两台吊车都不超载；

（2）辅助梁应该选择多大型号的工字钢？

解：（1）设吊车受力为FA和FB，列出平衡方程

求得

令≤200，≤150得

2 m≤≤2.667 m

（2）两吊车达到最大起吊量的时候，梁的弯矩最大

则

查表知可选用50a工字钢，=1860cm，与设计误差为

例3：图示结构承受均布载荷，为10号工字钢梁，处用直径=20mm的钢杆悬吊，梁和杆的许用应力[σ] ＝160MPa。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷。

解：（1）求出点反力和杆拉力

（2）梁的强度设计 

画出弯矩图

（3）杆的强度设计

因此

=15.68kN/m

      例4：工字钢简支梁如图所示。＝2m，＝0.2m，=10kN/m，＝200kN，材料的许用应力=160MPa，＝100MPa。试选择工字钢型号。

解：（1）计算支反力，画出剪力图和弯矩图

（2）根据最大弯矩选择工字钢型号

查型钢表，选用22a工字钢，

（3）校核梁的切应力

查型钢表，22a工字钢腹板厚度=0.75cm，

最大切应力

则应重新选择更大的截面，现选25b工字钢进行试算

所以应选用型号为25b的工字钢。 

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提供弯曲强度的措施

主要是依据梁的正应力强度条件。

1.降低梁的最大弯矩值

（1）合理地布置梁的荷载

（2）合理地设置支座位置

2.增大Wz

（1）合理选择截面形状

如面积相等的情况下，下面三种截面，矩形截面最合理。

（2）合理的放置方式

如下面三种截面的放置方式，左侧的更合理。

3.根据材料特性选择截面形状

对于塑性材料制成的梁，选以中性轴为对称轴的横截面；

对于脆性材料制成的梁，宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧。

4.采用等强度梁

即：梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力。

5.合理利用材料

充分发挥不同材料的抗拉压性能。

 

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概念性练习题

1.判断正误

（1）截面积相等的圆形和正方形截面杆，从强度角度看有： 在轴向拉伸时，圆截面较正方截面的好（    ）；在扭转时，圆截面较正方形截面的好（    ）；在纯弯曲时，圆截面较正方截面的好（    ）。 

（2）截面形状和尺寸都相同的钢梁和木梁如图，则A-A截面上的正应力分布相同（   ）；梁内最大正应力值相同（    ）；梁内最大纵向线应变值也相同（    ）。

2.选择填空 

（1）若对称弯曲直梁的弯曲刚度EI沿杆轴为常量，其变形后梁轴（   ）。

A.为圆弧线，且长度不变

B.为圆弧线，而长度改变 

C.不为圆弧线，但长度不变

D.不为圆弧线，且长度改变

（2）在图示十字形截面上，剪力为，欲求m-m线上的切应力，则公式 中， 为截面的阴影部分（     ）。 

A.对轴的静矩，

B.对轴的静矩，

C.对轴的静矩，

D.对轴的静矩，

（3）悬臂梁由两根槽钢背靠背（两者之间未作任何固定连接）叠加起来放置，如图。在载荷作用下，横截面上的正应力分布为图（    ）。

参考文献

[1] 孙训方.《材料力学》（第6版），高等教育出版社，2019

[2] 刘鸿文.《材料力学》（第6版），高等教育出版社，2017

“练习题”参考答案

1.(1)×，√，×

   (2)√，√，×

2.(1)A (2)D (3)D

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