爱因斯坦和哥德尔

撰文：张天蓉

爱因斯坦和哥德尔，是当年在普林斯顿高等研究院里经常一块散步的一对忘年之交。那是在爱因斯坦去世前的十几年，从1940年哥德尔正式受聘到普林斯顿高研院开始，一直到爱因斯坦生病去世。爱因斯坦晚年时，曾经对经济学家奥斯卡·摩根斯坦（Oskar Morgenstern）表示说，他自己的研究已经没有太大意义，而他之所以每天还到高等研究院来，只是为了与哥德尔一起走路回家！从爱因斯坦的这一段话，我们可以看出他对哥德尔的欣赏程度。

对公众而言，爱因斯坦的名字家喻户晓，但哥德尔却鲜为人知。那么，哥德尔何许人也？对科学有些什么杰出的贡献，才会使得爱因斯坦如此推崇他？

 库尔特·弗雷德里希·哥德尔（德语：Kurt Friedrich G?del，1906年－1978年）是一个出生于奥匈帝国，后半生在美国度过的数学家，被誉为亚里士多德之后最好的逻辑学家

哥德尔比爱因斯坦晚出生27年。在1906年，爱因斯坦发表3篇重要论文之“奇迹年”后的第二年，哥德尔才呱呱坠地。哥德尔天分极高，从小是个数学神童，喜欢寻根究底地问问题，因而在4岁的时候就有一个“为什么先生”的绰号。在维也纳大学时，他曾经修读过理论物理，也研究过相对论，之后专攻逻辑学和集合论。他最重要的数学成果是提出了哥德尔不完备定理，是他在25岁（1931年）紧接着博士论文之后完成的。

哥德尔不完备性定理包含两个定理：

1. 一个包含了算术的任意数学系统，不可能同时满足完备性和一致性；

2. 一个包含了算术的任意数学系统，不可能在这个系统内部来证明它的一致性。

如果用通俗的（不太严格）的说法来理解哥德尔不完备性定理，我们视乎可以这样认为：

完备性指的是这个系统包括了所有它定义的对象，一致性指的是没有逻辑上的自相矛盾。所以，用通俗语言，哥德尔不完备性定理就是：

1. 一个算术系统，要么自相矛盾，要么总能得出一些无法包括于该系统中的结论；

2. 不可能在一个算术系统内部，证明此系统是不自相矛盾的。

哥德尔不完备性定理的数学证明过程十分复杂，但是哥德尔定理及其方法的核心思想，都是运用了“自指”（自我指涉）的概念，这个概念可以用著名的“理发师悖论”来说明。

传说某小镇上只有一个理发师，他将他的顾客群（系统）定义为“城中所有不给自己理发之人”。但某一天，当他想给自已理发时却发现他的“顾客”定义是自相矛盾的。因为如果他不给自己理发，他自己就属于“顾客”， 既然不是“顾客”就应该给自己理发；但如果他给自己理发，虽然他自己不属于“顾客”了，但他给自己理了发又是顾客。那么到底自己算不算顾客？该不该给自己理发？这逻辑似乎怎么也理不清楚，由此就得出现一个“理发师悖论”。

也就是说，这位理发师定义的“顾客系统”要么是自相矛盾的，要么是不完备的，因为“他自己”无法属于这个系统。这就是哥德尔第一不完备定理的意思——完备性和一致性不可兼得。

进一步分析：如果我们想要证明这个“顾客系统”是自相矛盾的，就必须将“他自己”加进去。加进去才发现自相矛盾，不加进去就不自相矛盾。但是加了他自己后的系统，已经不是他原来（未曾考虑自己时）定义的系统。所以结论是，他不可能在他原来定义的系统内部，证明那个系统是自相矛盾的，这就是哥德尔第二不完备定理的意思。

从上面的分析看，问题在于“包含自身”是一种自指描述。例如，理发师 “只为不给自己理发的人理发”，说谎者说 “我正在说谎”，等等。罗素用严格的数学语言定义的“罗素悖论”，也都是自指命题。哥德尔揣摩这些例子写出了一句话：“这句话是不能证明的”。这种自指描述，是哥德尔证明他的不完备定理的重要工具。

“这句话是不能证明的”。如果你证明了这句话“对”，那你就得承认这句话不能被证明，这样就是既不能成其为肯定的否定逻辑判断，又不能形成否定的肯定逻辑判断；如果你能证明这句话“不对”，那就成了“不能证”的可证，而结论是“可证”不能被证明。

所以，在一个算术逻辑系统中，必定有一些“既不能证实，也不能证伪”的命题。

证实和证伪，正是科学或科学哲学领域经常探讨的课题，人们自然而然地联想到如何将哥德尔不完备定理用于科学活动之中。

哥德尔不是莫名其妙地提出不完备定理。他开始的目的是为了解决著名德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862年－1943年）于1900年提出的23个问题中的第2题：算术公理之相容性。

按照希尔伯特的宏伟计划，整个数学体系应该严格公理化，成为建立在一套牢靠基础上的宏伟大厦。说到公理化，我们都知道欧几里德几何是公理化的典范。但是数学家们的标准不同，希尔伯特就认为欧几里德《几何原本》是不严格的公理体系，最初的五条基本公设包含着很多基于直观的假设，不是基于严格数学语言定义的基础之上。希尔伯特另写了一本《几何基础》，重新定义几何，将几何学从一种具体模型上升为抽象的、完备而自洽的普遍理论。他认为，任何数学真理，只要通过一代又一代人的不断努力，都能用逻辑的推理将其整合到这个数学公理大厦之中。

希尔伯特认为算术公理系统是最简单的，他提出一个关于算术公理系统相容性的问题，希望能以严谨的方式来证明任意公理系统内的所有命题是彼此相容无矛盾的。换言之，希尔伯特的宏伟目标就是在形式化的算术系统内部证明它的完备性、一致性和可判定性。

然而，哥德尔的结论粉碎了希尔伯特的梦想。因为哥德尔证明了：包含了算术的数学整体（欧氏几何不包括算术系统）如果不自相矛盾的话，就一定是不完备的，一定有这么一些“无法证明它为真，也无法证明它为假”的命题存在。希尔伯特虽然遭受了打击，但他也不得不承认“不完备性定理对于数学和逻辑学具有里程碑式的意义”。

人们认为哥德尔不完备性定理具有划时代的意义，它的科学和哲学价值超过了数学领域，可以扩展到科学的各个方面，启发后人对哲学本质、世界基本问题的思考。美国《时代》杂志曾经评选出对20世纪思想产生重大影响的100人中，哥德尔被位列第四。

不完备性定理表明“一致性与完备性不可兼得”。这使人们联想到量子物理中海森堡不确定性原理表述的“动量位置不能同时确定”的命题，于是有人认为这两个原理从哲学角度给出了人类能力发挥的极限。也有人在探究这两个原理的相似性，期望从中寻找到二者深刻的内在联系。

当年爱因斯坦和哥德尔一起散步，是否会在一起讨论上面提出的问题？目前好像没有确切的资料显示这样的信息，但我们可以追溯搜寻一下历史记录：哥德尔是1931年发表不完备定理，普林斯顿高等研究院于1933年建立于普林斯顿大学的校园里。爱因斯坦、哥德尔、外尔等都是当年受邀的的第一批成员。爱因斯坦1933年10月抵达普林斯顿后便一直呆下去，哥德尔很快返回了欧洲，后来（1934-35）又来访过。在这些零落的时间内，两人讨论过什么，我们不得而知。普林斯顿高研院最初兴旺发达的是数学，哥德尔肯定作过有关不完备定理的演讲，爱因斯坦也许对逻辑和数学不那么感兴趣，但也应该知晓这个定理在数学界掀起的轩然大波。1935年，爱因斯坦与两位同事发表的EPR论文中，提出了量子物理的“完备性”问题（之前还提过“自洽性”问题），其想法以及这些逻辑学中的名词，很有可能来自于哥德尔的工作。

1940年，哥德尔正式受聘于高研院，便开始经常与爱因斯坦一块散步，聊天。遗憾的是我们没有查到有关他们涉及谈量子物理及不完备定理的内容，但从普林斯顿其他人的回忆中，能够悟出一点他们互相之间的思想影响。

约翰·惠勒从1938年开始成为普林斯顿大学物理系教授，与爱因斯坦十分熟悉，但对当时已经大名鼎鼎，又很少与人交往的哥德尔来说，对小5岁的惠勒就不一定熟悉了。

算法理论专家蔡廷（Gregory Chaitin）在他的书中曾有如下的描述：据说惠勒曾经和两个学生一起去过哥德尔的办公室（大约70年代），想问他关于量子物理及不完备定理之关系，哥德尔很生气，将他们“赶出”了办公室。

物理学家伯恩斯坦（Jeremy Bernstein）在他的书中也提到过此事。不过大多数人认为拜访过程不是那么戏剧性的。据说惠勒等问及此问题时，哥德尔转换了话题，要和他们讨论他正在研究的星系旋转的物理问题。一年之后，在某次小聚会中，哥德尔向惠勒等解释了他为何不愿谈论量子力学中的非决定论与数理逻辑之关系，是因为他曾经和爱因斯坦讨论过很久，他不相信量子力学和非决定论。所以，惠勒后来说到这个话题时，认为哥德尔已经被爱因斯坦“洗脑”了。

有人认为，不完备性定理于人类的意义超过了牛顿力学、万有引力、相对论。在这些人看来，科学理论可以影响几个世纪的人类，而不完备性定理（和测不准原理）所能影响的却是整个人类的文明历史。

的确，任何科学理论都应该有逻辑性、自洽性和完备性，然而在同一个系统中，完备性和逻辑自洽不可兼得。但是，一个理论最后要求的完备性，不一定是包括在这个理论自身，而是存在于下一个更深层的理论中。正是因为一个理论的完备性与一致性不能完全兼容，才提供了理论体系进一步发展的突破口。

哥德尔和爱因斯坦有一个难能可贵的共同点：他们都重视思考和研究科学的最基本问题。爱因斯坦研究统一理论几十年；哥德尔陷于哲学，他曾经对人稍感抱歉地解释为什么最后几年研究的东西都不太成功，是因为他考虑的一直是最基础的问题。

为哥德尔写传记的华人逻辑学家王浩曾经比较哥德尔和爱因斯坦的异同点：他们都重视哲学，但对世界的哲学观点却并不一样，而且性格迥异。爱因斯坦乐观合群，通情达理，哥德尔古板严肃，孤傲独行；爱因斯坦喜欢古典音乐，哥德尔认为索然无味；爱因斯坦积极参加和支持和平运动，哥德尔基本不涉及任何公众活动。

哥德尔1940年到普林斯顿高研院，1947年入籍美国。爱因斯坦和摩根斯坦曾作为证人陪同哥德尔参加了他的美国公民考试。后来有人描述当时的有趣一幕：本来一切顺利，但当法官问哥德尔是否认为像纳粹政权这样的独裁统治可能发生在美国时，哥德尔向他论证自己研究美国宪法时的一个重要发现：美国宪法有一个逻辑漏洞，会使得一个独裁者可以合法地掌握权力！他想就此争论一番。爱因斯坦等费了很大的劲才制止了他。

哥德尔的晚景令人唏嘘！伟大的逻辑学家最后死于“人格紊乱造成的营养不良和食物不足”——医生的诊断结论。这等同于饿死的。他病逝时的体重只有65磅，因为他晚年总是怀疑有人要谋杀他，会在他的饭菜里下毒，所以他不相信别人做的饭菜，只相信他夫人做的，而他的太太阿黛尔比他年长好几岁，也病倒了，没法照顾他。因此哥德尔只能吃一些很简单的食物或者经常不吃饭，身体状况迅速恶化，最终死于营养不良。