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谈到乘法结构，我曾经说过：“学会乘除法，并不是一件简单的事。加减法在心智层面，其实是扁平式的一层结构，学会加减法结构，只是理解了整体部分的关系。然而乘除法却不是一维的结构，而是二维结构。这就好比单层平房和摩天大楼一样。当我们的心智，不仅仅要管一个维度的数量，还要同时考虑另一个维度的数量，并因此去计算总量的时候，就产生了乘法结构。” ——选自文章：让孩子的心智升级：分类与乘法结构的数学启蒙 图片来自《大陆博士教你数学》二阶段课程 上图只是一个简单的将乘法此消彼长的关系用儿童能够理解的方式表达出来的图式，在学习乘法结构的过程中，我们还会让孩子接触各种图式，目的是为了体现不同的乘法情景关系，“数学思维”就体现在我们如何把具体化的情景抽象成为数学关系的过程中。 假如我们不谈这个思考过程，只是告诉孩子，这道题目应该这样解，或者首先让孩子去思考“应该用乘法还是除法”？那么我们就把最重要的部分省略掉了，也就是我们为什么如此判断的依据省略掉了，孩子也就习得不了数学思维，就如同瞎子摸象一样，只能断章取义，获得的数学概念也会支离破碎。这样的结果就是，在遇到一些情景关系不那么熟悉，或者不是那么直接可以套用方法的题目时，就不知如何下手了。 下面这道题目是来自于数学微课二（4）班的家长，在日常学员交流时聊的一道题目。 群里家长们也交流了很多思路，方法，我也截取一部分给大家看一下： 以上家长讨论中谈到的“盒子”，是我在二阶段课程中的一个比喻，比喻乘法结构，就如同把一样样东西分配到一个个盒子中，份数就如同盒子，每份数就如同盒子里的包含量。用一个孩子能够接受的比喻，但同时又去掉了各种题目中情景化的具体事物后，我们留下对乘法结构的二维认识：“盒子”与“包含量”。 解答这道题目关键在于要认识到乘法是具有“此消彼长”的特点的，这个我贯穿在整个二阶段课程中都会反复提醒，甚至到三阶段，解答某些题目的时候我们依然要让孩子能够回顾这个基本点。 所谓“此消彼长”，要在头脑中构建一个抽象的认识，就要想象事物具有某种变化重构的力量，如同一块粘土，可以变成长宽高不等的方块，乘法结构的两个维度可以想象成一个矩形的两条边，面积相等的情况下，一边长了，另一边就短了；反过来，一边变短了，那么另一条边就会变长。我们需要重点让儿童能够把题目中具体的事物对应到这种抽象结构中去理解。 上题，一天5道题目，可以理解为“一个盒子里装了5”；那么当一天变成6道题目的时候，自然盒子的总数会变少，这就符合我们说的两个维度此消彼长。 当然这道题目给出的条件中，稍微增加了一点难度，并不是单纯的“重复集合”的关系，是不平均的，另外有两组是10。这个时候，单纯通过此消彼长去理解就产生困难，我们就要引入另外一个概念，也是皮亚杰提出的“补偿原则”，我们要理解：一个维度上缺失的量，会被补偿到另外一个维度上。这听上去很难理解，你可以想象成，如果一个物体，高度变矮了，那么宽度上看上去就胖了。。。（哈哈，你是不是瞬间想到了矮胖和高瘦） 请看下图：一些物体分配给24个人，后来又来了4个人，如果把物体重新分配，这时每个人比原来少2个，一共多少物体？ 图片来自《大陆博士教你数学》二阶段课程 用语言来解释这张图就是，包含量这个维度上减少了2，总体就减少了48个，这48个物体被补偿到哪里去了呢？就是增加的4个人这个维度（人是一个维度，每个人得到的物体是另一个维度）。概括讲，就是每个人分配物体少了2个，结果就是可以多分配给4个人。这就是补偿原则。 回到前面这道题目中，由于不是单纯重复集合，我们可以利用补偿原则，去思考总量上差了多少，这个部分肯定被补偿到哪里去了。（只有熟悉补偿原则，我们才会第一时间去思考多了多少出来，它们又去了哪里？） 请看下图，首先我们要明确一个条件，蓝色比红色组少一天，这个是题目告诉我们的，这个大前提必须跟孩子讲清楚，画图会很明了，接着要明确蓝色组与红色组天数一样的部分在哪里，把剩下的部分进行比较，看看多出多少需要进行补偿（也就是重新分配到前面的天数中去）。 我们采取了两个思路，思路1是把最后两个10与一个6进行比较，红色组多出了14，这个14会去哪儿呢？被重新分配到前面的天数里，每天蓝色比红色多1，所以一共经过了14天，补偿完毕。这个思路的结果就是： 14＊6＋6=90 或 （14+1）＊6=90 而思路2是把倒数第二天的10，分了5个出去，与最后一天合并剩下15，也就是余了15个，这15个被重新分配到了前面15天里去，所以结果就是： 15*6=90 两个思路都可以，都是用补偿原则的思路来解决问题的，只是整体部分分割的方式不同。 在结束之前，我还要提醒家长们一点，无论你是看我的文章给孩子辅导，还是你正在上微课，跟孩子进行这些实践，你都要理解一点：孩子对于乘法结构的掌握并不是一蹴而就的，不可能象成年人这样，通过看一篇文章就理解了，也不可能通过一道题目就会了，乘法结构的理解是需要通过不同的情景关系，不同角度去讲，每次突出某个方面，并逐渐在螺旋上升的过程中深化其数学涵义才能掌握的。 数学思维的养成，是一个从具象到抽象的过程，如果没有足够丰富的例子，足够多的视角去谈同一个问题，那么孩子就很难独立去理解一个抽象公式的全面内涵，必定在概念上是有缺失的。从这种角度讲，盲目刷题是无效的，重要的是有选择的提供不同角度理解概念的题目，从不同侧重点去剖析同一个概念才是明智的做法。 |
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