函数图象平移问题是常见的问题之一,其中最常见的平移方向是左右和上下,而左右、上下平移时,其解析式的变化是有规可循的,现介绍如下: 一、左右平移 如果函数f(x)的图象向左(或右)平移m个单位,所得函数图像的解析式为f(x m)(或f(x-m)); 例如,已知函数y=2x 1. 如果把函数的图象向左平移3个单位,所得图象的解析式为: y=2(x 3) 1,即y=2x 7; 如果把函数的图象向右平移3个单位,所得图象的解析式为: y=2(x-3) 1,即y=2x-5. 左右平移可用口诀记为:左加右减自变量. 二、上下平移 如果函数f(x)的图象向上(或下)平移n个单位,所得函数图像的解析式为f(x) n(或f(x)-n); 例如,已知函数y=x2-3x 2. 如果把函数的图象向上平移1个单位,所得图象的解析式为: y=x2-3x 2 1,即y=x2-3x 3; 如果把函数的图象向下平移1个单位,所得图象的解析式为: y=x2-3x 2-1,即y=x2-3x 1. 上下平移可用口诀记为:上加下减常数项. 运用口诀'左加右减自变量,上加下减常数项'求函数图象平移解析式问题简单易记,轻松自如,而且可以避开画图的麻烦.请看: 例1把直线y=2x向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得直线解析式为: y=2(x-3) 2,即y=2x-4. 例2 把抛物线y=x2-3x 4向左平移3个单位,再向下平移5个单位,求平移后抛物线的解析式. 解:平移后的抛物线解析式为: y=2(x 3)2-3(x 3) 4-5,即y=2(x2 6x 9)-3x-9 4-5, 整理,得:y=2x2 9x 8; 例3 把抛物线y=x2沿着直线y=-x平移2√2个单位,所得抛物线解析式是___________. 解析:沿直线y=-x平移,其方向有两种情形: 如果是向x轴正方向平移,则由平移距离2√2个单位可知是向右平移2个单位,再向下平移2个单位,此时平移后的抛物线解析式为: y=(x-2)2-2,即y=x2-4x 2; 如果是向x轴负方向平移,则由平移距离2√2个单位可知是向左平移2个单位,再向上平移2个单位,此时平移后的抛物线解析式为: y=(x 2)2 2,即y=x2 4x 6. 例4把双曲线y=6/x向左平移1个单位,再向下平移2个单位,求平移后的双曲线与坐标轴的交点坐标. 解析:依据口诀,双曲线平移后的解析式为y=6/(x 1)-2, 令x=0,得y=6-2=4,所以平移后的双曲线与y轴的交点坐标是(0,4); 令y=0,得0=6/(x 1)-2,解得x=2,所以平移后的双曲线与x轴的交点坐标是(2,0). 例5已知直线y=x/2.把直线向右平移若干个单位,再向上平移相同的单位,使得平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积为1,求平移后的直线解析式. 解析:设每次平移n个单位,则平移后的直线为y=(x-n)/2 n,它与y轴的交点为A,与x轴的交点为B. 令x=0,得y=-n/2 n=n/2,所以A(0,n/2); 令y=0,得0=(x-n)/2 n, 解得x=-n,所以B(-n,0). 依题意,得1/2·n/2·n=1,n2=4, 又n>0,所以n=2. 所以平移后的直线为y=(x-2)/2 2, 即y=x/2 1. 例6已知直线y=x-1与抛物线y=-(x-2)2 3. (1)说明直线与抛物线有两个交点; (2)如何只按一个方向平移抛物线,使得平移后的抛物线与直线只有一个公共点? 解析:(1)联立y=x-1与y=-(x-2)2 3,消去y,得x-1=-(x-2)2 3, 整理,得x2-3x=0,所以x1=0,x2=3; 所以y1=-1,y2=2, 所以直线与抛物线有两个交点(0,-1)和(3,2); (2)如果抛物线向上平移n个单位后与直线只有一个交点, 则平移后的解析式为y=-(x-2)2 3 n, 联立y=x-1与y=-(x-2)2 3 n, 消去y,得x-1=-(x-2)2 3 n, 整理,得x2-3x-n=0, 依题意,得△=9 8n=0,n=-9/8; 如果抛物线向左平移m个单位后与直线只有一个交点, 则平移后的解析式为y=-(x-2 m)2 3, 联立y=x-1与y=-(x-2 m)2 3, 消去y,得x-1=-(x-2 m)2 3, 整理,得x2 (2m-3)x m2-4m=0, 依题意,得△=(2m-3)2-4(m2-4m)=0, 整理,得4m=-9,m=-9/4; 综上,把抛物线向下平移9/8个单位或向右平移9/4个单位,所得抛物线与直线只有一个公共点. |
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