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【题头】 复合场中的问题是高考中常见的考点之一，在有关重力场和电场的题目中，可以充分应用等效思想，将物体受到的多个恒定的场力等效为一个力，就可以将较复杂的运动情景，转化为较简单的运动情景，从而借助学习过的基本物理模型去解决问题。对于学生来说这种方法大大降低了解题的难度，有利于得出正确结果。 【例题】 如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球。O点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，b、O、d三点在同一水平线上。已知小球所受电场力与重力大小相等。现将小球从环的顶端a点由静止释放，下列判断正确的是 A. 小球能越过d点并继续沿环向上运动 B. 当小球运动到c点时，所受洛伦兹力最大 C. 小球从a点运动到b点的过程中，重力势能减小，电势能增大 D. 小球从b点运动到c点的过程中，电势能增大，动能先增大后减小 【答案】 D 【解析】 如果采用常规方法，从a点运动到b点的时候电场力做正功，重力做正功动能一定增大，从b点运动到c点的时候重力做正功，电场力做负功，所以在此过程中会出现动能的最大值。C选项中“能不能越过d点并继续沿环向上运动”这个问题可以通过动能定理列式，发现从a点到d点的过程中电场力做了负功，重力做了正功，由于电场力和重力相等位移都是圆环的半径，所以总功为零，即动能与a点相同，即速度为零。 如果采用等效的方法，电场力与重力大小相等，则二者的合力指向左下45°，由于合力是恒力，类似于新的重力，所以ad弧的中点相当于平时竖直平面圆环的“最高点”。
关于圆心对称的位置（即bc弧的中点）就是“最低点”，速度最大。由于a、d两点关于新的最高点对称，若从a点静止释放，最高运动到d点，故A错；由于bc弧的中点相当于 “最低点”，速度最大，当然这个位置洛伦兹力最大，故B错；从a到b，重力和电场力都做正功，重力势能和电势能都减少，故C错；小球从b点运动到c点，电场力做负功，电势能增大，但由于bc弧的中点速度最大，所以动能先增后减，D正确。 【变式】2017年北京市区海淀区高三物理期末反馈题 第 13题 如图所示，在水平向右的匀强电场中，水平轨道AB连接着一半径为R的圆形轨道，圆形轨道固定在竖直平面内，其最低点B与水平轨道平滑连接。现有一质量为m、电荷量为q的带正电荷的小球（可视为质点），从离圆形轨道最低点B相距为L处的C点由静止开始在电场力作用下沿水平轨道运动。已知小球所受电场力与其所受的重力大小相等，重力加速度为g，水平轨道和圆形轨道均绝缘，小球在运动过程中所带电荷量q保持不变，不计一切摩擦和空气阻力。求： （1）求小球运动到B点时的速度大小； （2）D点是右半圆弧上与圆心等高的位置，试分析论证无论L的大小如何，小球均能运动到D点； （3）若要使小球能沿圆形轨道做完整的圆运动，请说明其在水平轨道上由静止开始运动的位置到B点的距离应满足什么条件。 （4）若小球恰能沿圆形轨道做完整的圆运动，请说明小球沿圆形轨道运动过程中的最大速度的大小，以及具有最大速度时的位置。 【解析】 （1）小球所受电场力与重力大小相等：qE=mg 从A到B，根据动能定理： （2）由于小球所受电场力与其所受的重力大小相等，根据动能定理从B点到D点电场力和重力做功大小相同可以抵消，从B点静止出发的小球恰能到达D点，所以从AB上无论哪点出发都能到达D点。也可以从复合场的角度进行分析，电场力与重力的合力方向与竖直方向成45°角，斜向右下，将这个力看成新的等效重力，将圆弧BD的中点看作最低点，小球在B点释放时如果速度为零，那么运动到D点的时候速度也为零。 （3）电场力与重力的合力大小为 要使小球能沿圆形轨道做完整的圆运动，其在水平轨道上由静止开始运动的位置到B点的最小距离为L0，根据动能定理或能量守恒： 所以，要使小球能沿圆形轨道做完整的圆运动，其在水平轨道上由静止开始运动的位置到B点的最小距离L满足关系式： （4）小球恰能沿圆形轨道做完整的圆运动时，其出发点与B点的距离为L0。 其有最大速度的位置在复合场中的“最低点”：即圆周与一斜向右下45°角的半径交点处。设最大速度为vm，根据动能定理或能量守恒
【方法小结】 通过以上两个习题，不难看出由于引入了“等效重力场”的概念，就把重力场和电场两个场相复合的问题简化为只有一个场的问题，从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来，化繁为简、化难为易。需要注意的是，由于重力场和电场都是匀强的场，即电荷在空间各处受到的重力及电场力都是恒力，这种等效思想才是正确的。如果电场不是匀强的或替换为匀强磁场，则不能进行上述的等效变换。在等效变换的过程中，确定“等效场”的方向是至关重要的问题。 |
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