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典型题 【题目】 （2018·遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax² 5/3x c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣1/3x 2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E的坐标． （2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标． （3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标． 【答案】 解：（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：16a 20/3 c=-2，c=2， 解得：a=-2/3，c=2，即二次函数解析式为y=﹣2/3x² 5/3x 2， 联立一次函数解析式得：y=-1/3 x 2，y=-2/3 x² 5/3 x 2， 消去y得：﹣1/3x 2=﹣2/3x² 5/3x 2， 解得：x=0或x=3，则E（3，1）； （2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H， 设M（m，﹣2/3m² 5/3m 2），则H（m，﹣1/3m 2）， ∴MH=（﹣2/3m² 5/3m 2）﹣（﹣1/3m 2）=﹣2/3m² 2m， S四边形COEM=S△OCE S△CME=1/2×2×3 1/2MH·3=﹣m² 3m 3， 当m=﹣b/a=3/2时，S最大=21/4，此时M坐标为（3/2，3）； （3）连接BF，如图②所示， 当﹣2/3x² 5/3x 20=0时，x1=(5 √73)/4，x2=(5-√73)/4， ∴OA=(√73-5)/4，OB=(√73 5)/4， ∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB， ∴△AOC∽△FOB， ∴OA/OF=OC/OB，即((√73-5)/4)/OF=2/((√73 5)/4)， 解得：OF=3/2， 则F坐标为（0，﹣3/2）． 【总结】 题（2）求四边形OCME面积的最大值，本质求三角形CME的面积最大，本题方法多样，可以参考此前的文章。与今年白银市的压轴题类似。 2018年白银市中考数学压轴题分析 二次函数图象中的面积问题 坐标系中三角形面积公式 题（3）利用圆周角定理可以得到三角形相似，本质上就是课本删除的“相交弦定理”。 当然，假设圆心为N，本题根据圆心到A，B，C的距离相等，可以确定圆心N的纵坐标，因为圆心到C，F的距离相等，易得点F的坐标。 还可以根据高中圆的方程，利用与y轴的交点x=0求出。 相对而言相交弦定理是最简洁的做法。 本题与2018年广州中考数学压轴题类似。 【举一反三】 （2018·广州）已知抛物线y=x² mx﹣2m﹣4（m＞0）． （1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上． ①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由； ②若点C关于直线x=﹣m/2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求l/r的值． |
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