一次函数与等腰三角形的存在性问题

一．选择题（共3小题）

1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6个

2．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共4小题）

4．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是　　　　　　．

5．在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D的坐标应为　　　　　　．

6．在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为　　　　　　．

7．一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为　　　　　　．

三．解答题（共9小题）

8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB²+CD²=AD²+BC²．

9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图在平面直角坐标系中A、B两点坐标分别为A（4，0），B（0，8），直线y=2与直线AB交于点C，与y轴交于点D；

（1）求直线AB的解析式；

（2）点E是直线AB上的一个动点，问：在y轴上是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点E及对应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

11．如图，四边形OABC的顶点A（0，4），B（﹣2，4），C（﹣4，0）．过作B、C直线l，将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于D，与y轴交于点E．

探究：当直线l向左或向右平移时（包括直线l与BC直线重合），在直线AB上是否存在P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=﹣x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．

13．如图，直线y=﹣x+6与坐标轴分别相交于点A、B．

（1）求A、B两点坐标；

（2）以AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，求△ABC的面积；

（3）在坐标系中是否存在点M，使得以M、O、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，在平面平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴与点B，点C是AB的中点，过点C作直线CD⊥x轴于点D，点P是直线CD上的动点．

（1）填空：线段OA的长为　　　　　　；线段OB的长为　　　　　　；

（2）求点C的坐标；

（3）是否存在这样的点P，使△POB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．在直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（3，1），C（2，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．

16．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点A（，0），点B（0，）．

（1）求直线l的函数解析式；

（2）若给定点M（5，0），存在直线l上的两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，请求出所有符合条件的点P的坐标．

参考答案

一．选择题（共3小题）

1．B； 2．D； 3．D；

二．填空题（共4小题）

4．（-4，3），（2，-3），（-，），（，-）；5．（4，2）或（-2，2）或（2，-2）；6．（-2，3）或（6，3）或（0，-3）；7．（2，3）或（-6，3）或（4，-5）；