【存在性系列】直角三角形存在性问题

 直角三角形在中考数学试题中占有着重要的地位，一般是与其它知识综合在一起考，比如可以与一次函数综合考，与二次函数综合考，与反比例函数综合考。今天我们详细说下，直角三角形的存在性问题

01

理论准备

【引例】

1.已知：定点A(2,1),B(6,4)和动点M(m,0)，存在点M使得△ABM为直角三角形，求点M的坐标.

【分析思路-几何法】--两线一圆得坐标

 在平面直角坐标系遇到直角三角形的问题，通常是以直角顶点为分类标准进行讨论。如图所示：

当A为直角顶点时，过点A作AB的垂线交x轴的点即为所求点；

当B为直角顶点时，过点B作AB的垂线交x轴的点即为所求；

当以点M为直角顶点时，只用以AB为直径作圆与x轴的交点即为所求.

注意：当两直线垂直时，两直线的k值乘积为-1，通过求垂线的解析式再求出其与x轴的交点即可.

如何确定点的坐标--构造“K型”相似

根据Rt△ADB∽Rt△MCA，可得：BD/AC=AD/AC

解得:CM=3/4  

∴OM=11/4∴M的坐标为(11/4,0)

根据Rt△AEB∽Rt△BFM，可得：AE/BF=BE/MF

解得：BF=3

∴OM=9

∴M的坐标为(9,0)

根据Rt△AGM∽Rt△MHB，可得：AG/MH=GM/BH

解得GM=2

∴M的坐标为(4,0)

【代数法】--利用勾股定理求解

其他两种情况，只需要将其中两条换成直角边，另外一边换成斜边即可解决

【解析法】--利用斜率的乘积等于-1求解

后面的例题我们尽量多讲解几何法，因为这是考察较多，也是较为方便的方法。

02

例题精讲

先从比较特殊的入手

【等腰直角三角形类】--构造“K”型全等

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,且与正比例函数y=kx的图象交点为C(3,4).求：

(1)求k值以及一次函数y=k₁x+b的解析式；

(2)在第二象限是否存在点D,使得△DAB是等腰直角三角形，请求出点D的坐标；

【直角顶点位置确定】--在坐标轴上

2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A(3,0),B(−1,0),C(0,-3)，顶点为D.

(1)求这个二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)在y轴上找一点P(点P与点C不重合),使得△APD为直角三角形，求点P坐标；

【直角顶点位置确定】--在抛物线上

3.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若过B点的直线与抛物线交于P，与y轴交于E，若BE=PE，求BP的长；

(3)如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由。

                                 图1                     图2

【直角顶点位置确定】--在对称轴上

4.如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P使△PBC为直角三角形？若存在，求出点P坐标，若不存在说明理由?

【直角顶点位置确定/不定】

03

总结

【几何法】

(1)分直角顶点讨论

(2)两线一圆作出点的位置

(3)构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段长度，进而确定点的坐标．

【代数法】

(1)表示点A、B、C坐标；

(2)根据两点距离公式，表示线段AB、AC、BC；

(3)分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²；

(4)代入列方程，求解，进而求出点的坐标．

【解析法】

利用斜率的乘积等于-1求解

当然，在实际应用中一般会综合几种方法的优点，这样可以起到事半功倍的效果.