【问题描述】 如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(1,1),点B坐标为(5,3),在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形,求点C坐标. 【几何法】两线一圆得坐标 (1)若∠A为直角,过点A作AB的垂线,与x轴的交点即为所求点C; (2)若∠B为直角,过点B作AB的垂线,与x轴的交点即为所求点C; (3)若∠C为直角,以AB为直径作圆,与x轴的交点即为所求点C.(直径所对的圆周角为直角) 重点还是如何求得点坐标,C1、C2求法相同,以C2为例: 【构造三垂直】 C3、C4求法相同,以C3为例: 构造三垂直步骤: 第一步:过直角顶点作一条水平或竖直的直线; 第二步:过另外两端点向该直线作垂线,即可得三垂直相似. 【代数法】表示线段构勾股 还剩下C1待求,不妨来求下C1: 【解析法】 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法: 互相垂直的两直线斜率之积为-1. 考虑到直线AC1与AB互相垂直,k1k2=-1, 可得:kAC=-2, 又直线AC1过点A(1,1), 可得解析式为:y=-2x+3, 所以与x轴交点坐标为(1.5,0), 即C1坐标为(1.5,0). 确实很简便,但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 方法小结 几何法: (1)两线一圆作出点; (2)构造三垂直相似,利用对应边成比例求线段,必要时可设未知数. 代数法: (1)表示点A、B、C坐标; (2)表示线段AB、AC、BC; (3)分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²; (4)代入列方程,求解. 再特殊一些,如果问题变为等腰直角三角形存在性,则同样可采取上述方法,只不过三垂直得到的不是相似,而是全等. 2019兰州中考删减 【等腰直角存在性——三垂直构造全等】 通过对下面数学模型的研究学习,解决问题. 【模型呈现】 如图,在Rt△ABC,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE. 我们把这个数学模型成为“K型”. 推理过程如下: 【模型迁移】 二次函数y=ax²+bx+2的图像交x轴于点A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒. (1)求二次函数y=ax²+bx+2的表达式; (2)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标. 2017本溪中考 【直角顶点已知or未知】 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴交于A、B两点,点B(3,0),经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C(4,5/2),与y轴交点为D,点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点(不与点A、C重合). (1)求该抛物线的解析式. (2)点Q在抛物线的对称轴上运动,当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时,请直接写出符合条件的点P的坐标. 【小结】对于构造三垂直来说,直角顶点已知的和直角顶点的未知的完全就是两个题目! 也许能画出大概位置,但如何能画出所有情况,才是问题的关键. 其实只要再明确一点,构造出三垂直后,表示出一组对应边,根据相等关系列方程求解即可. 2019阜新中考 【对未知直角顶点的分析】 如图,抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0),交y轴于点C. (1)求这个抛物线的函数表达式. (2)点D的坐标为(-1,0),点P为第二象限内抛物线上的一个动点,求四边形ADCP面积的最大值. (3)点M为抛物线对称轴上的点,问:在抛物线上是否存在点N,使△MNO为等腰直角三角形,且∠MNO为直角?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 【小结】无论直角顶点确定与否,事实上,所有的情况都可以归结为同一个方程:NE=FM.故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值,便可计算出可能存在的其他情况. 一般直角三角形存在性,同样构造三垂直,区别于等腰直角构造的三垂直全等,没了等腰的条件只能得到三垂直相似. 而题型的变化在于动点或许在某条直线上,也可能在抛物线上等. 2018安顺中考 【对称轴上寻动点】 如图,已知抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3). (1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标; (3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 2018怀化中考 【抛物线上寻动点】 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式; (2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标; (3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 2019鄂尔多斯中考 【动点还可能在……】 如图,抛物线y=ax²+bx-2(a≠0)与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=-x与该抛物线交于E,F两点. (1)求抛物线的解析式. (2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值. (3)以点C为圆心,1为半径作圆,圆C上是否存在点M,使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形?若存在,直接写出M点坐标;若不存在,说明理由. |
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