|
28．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （3）该题是等腰直角三角形的存在性问题，我们可以利用等腰直角三角形的性质和判定来解决。 方法一：利用等腰直角三角形定义：PC=PB, ∠CPB＝90°设P（x,y），则 方法二：利用等腰直角三角形三线合一和斜边中线等于斜边一半 由于点E（2，1）,直线BC解析式为y＝-1/2x+2，所以PE的斜率为2,且PE＝BC的一半，列方程得： 当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，如图，有两种情况如图（1）过点P构造一线三垂直，则△EP≌△PFB,设CE＝a，则PF=CE=a,因为BF=OE＝a+2，所以EP=BF=a+2,根据矩形的对边相等，EF=OB=4,所以a+2+a=4,可得a=1,所以点P的横坐标为3，即点D的横坐标为3，代入抛物线解析式可得点D坐标为（3，2） 如图，△CFE≌△EGP,则EG=CF=1,从而得到点P的横坐标，再代入解析式即求出点D坐标 【反思】该题是等腰直角三角形的存在性问题，看到等腰直角三角形这个特殊图形，我们首先就要先想与等腰直角三角形有关的有哪些性质呢：比如定义：有一个角是直角，两直角边相等；比如三线合一，比如直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，比如特殊角45°……等等，首先我们要知道，解决存在性问题的根本在于“将判定定理代数化”，即：先分析图形运动方式，然后用含未知数的式子表示出点和线，最后代入判定定理的代数表达，列方程求解。 比如平行四边形的存在性，我们知道平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③一组对边平等且相等④一组对角分别相等⑤对角线互相平分；“两组对边平行”的代数表达是两条直线解析式的k相等，缺点是在表示斜率的过程中可能分母中有字母，通常会涉及到解分式方程；“两组对边分别相等”需要涉及到两点之间距离公式，缺点是当动点在抛物线上运动时，纵坐标是含参数的二次式，再平方后可能列出四次方程。如果一边平行坐标轴，用起来会相对方便一些，但如果没有这种特殊性，计算量就会激增。另外，在坐标系中我们没有研究一般角的工具，所以不选择“两组对角分别相等”这种判定。“一组对边平等且相等”我们可以用“平移不变性求点坐标”，比较适合几何直观比较好的同学，因为这种方法需要先画图才能列式，很容易丢解。“对角线互相平分”我们可以利用中点坐标公式，分三类来进行盲解。类似的方法可以解决矩形、菱形等特殊图形的存在性问题。 方法一：定边定角 ∠AQC是一个确定的角，而边AC长是确定的，属于定边定角模型，则点Q在以AC为弦的圆上，而我们发现∠ACO＝∠ABC,即A、B、Q、C四点共圆，也就是说点Q在△ACB外接圆上，而△ACB是直角三角形，所以圆在斜边AB中点处，作△ABC的外接圆，与抛物线的对称轴相交，则交点即为点Q的位置，所以MQ=MC=MA，很容易就可以得到点Q的坐标
【拓展】这道题弦AC的外接圆的圆心正好是边AB的中点，如果∠ACB不等于90度,即AC的外接圆的圆心不特殊时，又如何做出外接圆的圆心呢？其实我们知道这里边AC是固定的，所对的角AQC是固定的，那么这个圆就是确定的，与其它的边角是没有关系的，我们随便以一个例子来看一下，如图，在直线X=3上找一点Q，使∠AQC+∠OAC＝90°，则∠AQC＝∠ACO,即∠AQC是确定的，正切值为1/3,那么如何作出以AC为弦的圆呢？
我们知道弦AC所对的圆周角是相等的，即AC所对的所有圆周角的正切值都为1/3,我们可以过弦AC一点A作AC的垂线AF,且使AC：AF=1:3,连接CF，则∠AFC的正切值为1/3,作直角三角形ACF的外接圆即为三角形ACQ的外接圆，与直线X=3的交点即为Q点
本问主要考查角度的存在性问题，常见的解决策略主要有定边定角出隐圆，构造一线三垂直，构造一线三等角或母子型相似．  |
|
|
