有两个等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEF,使△ABC固定不动,将△DEF绕△ABC的斜边中点或直角顶点旋转。其中是否存在不变的量呢?
问题1:两块三角板按如图所示的方式放置:等腰直角△ABC固定不动,等腰直角△DEF的直角顶点放在△ABC的BC边的中点O处,△DEF可以绕点O旋转.
在旋转过程中,边AB与DF的交点M不与点A、B重合,边AC与DE的交点N不与A、C重合,线段DM和DN是否存在特殊的数量关系?在旋转过程中,四边形AMDN的面积是否始终不变?(设AB=1,AM=x) 在本题中,除了与面积相关的问题外,是否还存在线段之间的数量关系或等量关系呢?
问题2:固定等腰直角△ABC,使等腰直角△DEF的45°角的顶点E放在Rt△ABC的斜边中点处,使其两边与Rt△ABC的两条直角边分别相交。在△DEF以直角△ABC斜边中点为旋转中心进行旋转的过程中,△BEM与△CNE是否相似?△AMN的周长会不会发生变化?设AB=1,AM=x(0<x<0.5)问题3:已知△ABC与△ADF是等腰直角三角形,∠BAC=∠ADF=90°,AB=AC,DA=DF,联结CF、BF。G为CF的中点,联结DG.(1)将△ADF绕点A旋转,点点D落在AB边上,求证:BF=2DG. 倍长DG于点Q,此时无法说明A、C、Q三点共线,因此通过延长DG交AC于点Q,利用全等三角形说明DG=GQ.(2)将△ADF绕点A旋转,点点D落在AC边上,求证:BF=2DG. (3)将△ADF绕点A旋转,点点D落在△ABC内部,求证:BF=2DG.问题4:△ABC与△AEF皆为等腰直角三角形,∠BAC=∠EAF=90°,联结BE、CF,当△AEF绕点A旋转时,总存在BE=CF,试证明. 方法:根据手拉手三角形的特点,可以根据图1证明△ABE≌△ACF,进而得到BE=CF。本题还要注意的是点E、点F可以在AB、AC上,此时先证明EF//BC,再利用比例线段进行证明,进而得到BE=CF.
部分题目改编自《空中课堂》第16讲图形运动(1)。
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