一、相似三角形中的动点问题 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG.设点D运动的时间为t秒. (1)当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度; (2)当△DEG与△ACB相似时,求t的值. 1题图 2.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动.同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒. (1)①当t=2.5s时,求△CPQ的面积; ②求△CPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式; (2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值. 2题图 3.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动,DE平分∠CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N. (1)当AD=CD时,求证:DE∥AC; (2)探究:AD为何值时,△BME与△CNE相似? 4.如图所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动.设运动的时间为x. (1)当x为何值时,PQ∥BC? (2)△APQ与△CQB能否相似?若能,求出AP的长;若不能说明理由. 4题图 5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0<t<6)。 (1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形? (2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似? 5题图 二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式. 6题图 7.在△ABC中,AB=2√5,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长. 8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:MC:NC=AP:PB. 8题图 三、构造相似辅助线——A、X字型 11.如图:△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。求证:AB/AC=CF/DF 11题图 四、相似类定值问题 16.如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F. 求证:1/CE+1/BF=3/AB. 16题图 五、相似之共线线段的比例问题 21.已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求证:BP2=PE·PF . 21题图 六、相似之等积式类型综合 29.如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H。 求证:(1)DG2=BG·CG;(2)BG·CG=GF·GH 29题图 七、 相似基本模型应用 30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE; (2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论. |
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