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八上第4讲 全等动点问题&再谈倍长中线

2019-09-23  鼎新教育

写在前面

本讲开始,全等三角形的相关内容已经到了专题提升阶段,我们从动点问题和倍长中线法来作一个归纳.

一、全等动点问题

例1:

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动,要使△ABC和△APQ全等.AP的长应为_______.

分析:

本题中,∠C=90°,AO⊥AC,则得到∠BCA=∠PAQ=90°,则点C必然与点A对应,因此△ABC与△APQ全等,只剩下了两种情况.

解答:

例2:

如图,AB=6cm,AC=BD=4cm.∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).设点Q的运动速度为xcm/s,若使得△ACP与△BPQ全等,则x的值为________.

分析:

本题中,因为∠CAB=∠DBA,所以点A与点B对应已经确定.两三角形全等也只剩两种可能.这里的时间t,速度x均为未知量,但可以建立方程,求出其中一个,再求另一个.

解答:

例3:

如图,已知△ABC中,AB=AC=24cm,∠ABC=∠ACB,BC=16cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.当点Q的运动速度为______cm/s时,能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等.

分析:

本题可以看作例2的变式,几乎如出一辙,依旧是点B与点C对应,两种情况.

解答:

例4:

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P、Q是边AC、BC上的两个动点,PD⊥AB于点D,QE⊥AB于点E.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动;点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动,到达点C后停止运动,当t=_______时,△APD和△QBE全等.

分析:

本题中,∠ADP=∠QEB=90°,则点D与点E对应,而∠A+∠APD=90°,∠A+∠B=90°,则∠APD=∠B,点P与点B对应,则△APD≌△QEB,而可以用含t的代数式表示的边是AP,BQ.要注意点P的运动路程为从C到A再返回C,表示边AP 时要分类讨论.

解答:

二、再谈倍长中线

例1:

已知:如图,AD是△ABC的中线,求证:AB+AC>2AD.

分析:

本题是涉及两线段长度之和大于第三条线段长度的数量关系问题,应该想到,放在三角形的三边关系来考虑.而这里的AD为中线,要构造2AD,显然要延长中线AD,即倍长中线.

解答:

例2:

△ABC中,D为BC中点,已知AB=7,AD=5,求AC的取值范围.

分析:

本题是涉及两线段长度之和大于第三条线段长度的数量关系问题,应该想到,放在三角形的三边关系来考虑.而这里的AD为中线,要构造2AD,显然要延长中线AD,即倍长中线.

解答:

例3:

如图,△ABC 中,D是BC的中点,DE⊥DF,请判断BE,CF,EF之间的数量关系.

分析:

本题中,要直接发现BE,EF,CF 间的大小关系很困难,三条线段不在同一个三角形中.受上一题启发,可能有同学会想到连接AD,倍长中线.但是,这样只能将AC转化至某一条线段,与CF没有关系.因此看到中点D,我们也要想到倍长与中点相关的线段FD.再联想到∠EDF=90°,想到通过二次全等,转化EF,以达到将三条线段转化至同一个三角形内的目的.

解答:

本讲思考题

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