【原】八上第4讲 全等动点问题&再谈倍长中线

写在前面

本讲开始，全等三角形的相关内容已经到了专题提升阶段，我们从动点问题和倍长中线法来作一个归纳．

一、全等动点问题

例1： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，要使△ABC和△APQ全等．AP的长应为_______． 分析： 本题中，∠C＝90°，AO⊥AC，则得到∠BCA＝∠PAQ＝90°，则点C必然与点A对应，因此△ABC与△APQ全等，只剩下了两种情况． 解答：

例2： 如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为________． 分析： 本题中，因为∠CAB＝∠DBA，所以点A与点B对应已经确定．两三角形全等也只剩两种可能．这里的时间t，速度x均为未知量，但可以建立方程，求出其中一个，再求另一个． 解答：

例3： 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24cm，∠ABC＝∠ACB，BC＝16cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 分析： 本题可以看作例2的变式，几乎如出一辙，依旧是点B与点C对应，两种情况． 解答：

例4： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t＝_______时，△APD和△QBE全等． 分析： 本题中，∠ADP＝∠QEB＝90°，则点D与点E对应，而∠A＋∠APD＝90°，∠A＋∠B＝90°，则∠APD＝∠B，点P与点B对应，则△APD≌△QEB，而可以用含t的代数式表示的边是AP，BQ．要注意点P的运动路程为从C到A再返回C，表示边AP 时要分类讨论． 解答：

二、再谈倍长中线

例1： 已知：如图，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD． 分析： 本题是涉及两线段长度之和大于第三条线段长度的数量关系问题，应该想到，放在三角形的三边关系来考虑．而这里的AD为中线，要构造2AD，显然要延长中线AD，即倍长中线． 解答：

例2： △ABC中，D为BC中点，已知AB＝7，AD＝5，求AC的取值范围． 分析： 本题是涉及两线段长度之和大于第三条线段长度的数量关系问题，应该想到，放在三角形的三边关系来考虑．而这里的AD为中线，要构造2AD，显然要延长中线AD，即倍长中线． 解答：

例3： 如图，△ABC 中，D是BC的中点，DE⊥DF，请判断BE，CF，EF之间的数量关系． 分析： 本题中，要直接发现BE，EF，CF 间的大小关系很困难，三条线段不在同一个三角形中．受上一题启发，可能有同学会想到连接AD，倍长中线．但是，这样只能将AC转化至某一条线段，与CF没有关系．因此看到中点D，我们也要想到倍长与中点相关的线段FD．再联想到∠EDF＝90°，想到通过二次全等，转化EF，以达到将三条线段转化至同一个三角形内的目的． 解答：

本讲思考题