张江教研沙龙|对于几何极值问题研讨

上海民办张江集团学校数学教研沙龙正在推进中，本期主持嘉宾是李磊老师，他给我们带来的是“几何极值问题”。

草根我乃是一只勤奋的胖蜜蜂，虽论做题在我校资质平平，然愿做学霸、学神之“翻译”，将“高深”问题消化后惠及大众，以下就是通过学习、研究，我对于这类问题的认识

典型例题

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，求线段QC长度的最小值

解法一

如图，过点Q做QH⊥AB于H，设BH=HQ=a，AP=b

易证：△PHQ∽△APC，则PH:AC=HQ:AP

解法二

如图，取CQ中点M，过点M做MH⊥AB于H，联结PM，设CQ=x

基本思路

代数方法解决三例

例1：已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝6，CD＝4，求△ABC的面积的最大值

例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，BD＝√3，求△ABC的面积最大值

例3：如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°，直径DE∥BC，分别交AB、AC于点F、G，若⊙O的半径为2，求线段FG的长的最大值

几何解决三例

例1：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AB边上的动点，E是AC的中点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连接BA′，求BA′ 的最小值

解：BA’≥BE-AE’=√97-5

例2：如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB＝4，点P是⊙O上一动点，求AP＋(√2/2)DP的最小值

“

处理本例的关键在于转化(√2/2)DP

解：联结AO、OP、OD，取OD中点M，

联结PM（如下图）

例3：点P是正方形ABCD外一点，且PA＝3，PB＝4，求PC的最大值

“

处理本例的关键在于聚合线段AP、PB、PC

解：过点B做BE⊥PB，截取BE=PB，联结AE、PE

可证△ABE≌△PBC

（通过添加辅助线，实现△PBC绕点B旋转至△ABE，从而使得分散的条件聚合）

PC=AE≤AP+PE=3+4√2