【原】【动点与函数解析式】【参数坐标与直角三角形】

试题内容

在平面直角坐标系中，直线l1:y=x+1与直线l2:x=-2相交于D点，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标(0，3)，连接AC，BC.设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为S.

(1)当t=2时，请直接写出点B的坐标；

(2)S关于t的函数解析式为S=(1/4)t2+bt-(5/4)，(t<-1或t>5)；S=a(t+1)(t-5)，(-1<t<5)，其图象如图2所示，结合图1和图2求出a，b的值；

(3)在l2上是否存在一点A，使得△ABC是直角三角形，若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由.

解法分析

第一问

动点位于特殊位置

当t=2时，点B的坐标为(-1/2，1/2)；

简要说明理由：

根据题意易求得：

点D的坐标为(-2，-1)

∵直线l1的解析式为：y=x+1，

∴∠ADB=45°，

易证△ADB是等腰直角三角形，

∴yB=(yA+yD)/2=(t-1)/2=(1/2)，

∴点B的坐标为(-1/2，1/2)；

第二问

图象上的点→函数解析式

由图2可得：

当t=7时，S=4，

∴4=(1/4)×49+7b-(5/4)，

解得：b=-1；

由(1)得：当t=2时，

点A的坐标为(0，2)，

点B的坐标为(-1/2，1/2)，

∵点C的坐标为(0，3)，

∴S=S矩形CEFG-S△CEB-S△AFB-S△AGC

=5-(5/8)-(9/8)-1

=(9/4)，

即：当t=2时，S=(9/4)，

∴(9/4)=a(2+1)(2-5)，

解得：a=-(1/4)；

第三问

参数坐标与直角三角形

①若∠ABC=90°，

则：D、B、C三点共线，

即：点C在直线l1上，

此时不符合题意，舍去；

②若∠BAC=90°，

则：AC∥l1，

∴直线AC的解析式为：y=x+3，

∴点A的坐标为(-2，1)，

△AMC和△ABD都是等腰直角三角形，

∵点D的坐标为(-2，-1)，

∴AD=2，

∴AB=√2，

∵点C的坐标为(0，3)，

∴AC=2√2，

∴S=(AB×AC)/2=2；

③若∠ACB=90°，

则AC²+BC²=AB²，

设点B的坐标为(m，m+1)，

∵点A的坐标为(-2，t)，

点C的坐标为(0，3)，

点D的坐标为(-2，-1)

∴AC²=t²-6t+13，

BC²=2m²-4m+4，

BD²=2(m+2)²，

AB²=(m+2)²+(m+1-t)²，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴AB²=BD²，

∴(m+2)²+(m+1-t)²=2(m+2)²，

∴m+1-t=±(m+2)，

∴t=-1或(2m+3)，

【1】当t=-1时，

点A、B、D重合，

不符合题意，舍去；

【2】当t=2m+3时，

AC²=4m²+4，

∴4m²+4+2m²-4m+4=2(m+2)²，

解得：m=0或3，

当m=0时，

t=3，AC=2，BC=2，

∴S=2；

当m=3时，

t=9，AC=2√10，BC=√10，

∴S=10；

综上所述：

在l2上存在一点A，使得△ABC是直角三角形，此时点A的坐标为(-2，1)或(-2，3)或(-2，9)，△ABC的面积为2或10.

————  e n d ————