数学史系列之二：布尔代数的内容和用途

数学史系列之二：布尔代数的内容和用途

——从布尔代数到世界上第一台计算机

大多数人一提到数学，都感到恐惧，感到抽象、难以理解，但是，数学本来不是这样的，是那些专业的数学课本把数学讲坏了。数学是一门历史性非常强的科学，从古至今，数学也是一步一步逐步积累起来的。

和其它科学不同，数学的内容一直在增加，但是从来没有哪些数学内容被淘汰或者被代替了，它们只是不断地被改进和规范，然后发明新的内容。

因此，我打算从历史发展的角度，来给大家讲一讲数学是如何从古代的记账和测量一直发展到今天这个样子的，并且它们都有哪些用处——好多人觉得数学似乎没什么用处，但其实数学是一切科学的基础和工具。离开了数学，现代科学和我们如今的网络社会都是不可能存在的，也是不可想象的。

举个简单的例子，我们现在用的手机、电脑、网络，所有自动化的电器和设备，他们的最基本的硬件，都离不开集成电路——就是最近闹得沸沸扬扬的电脑芯片——而集成电路的原理来源于数学上的一个分支，叫做布尔代数，也就是逻辑代数。

因此，我们今天就讲布尔代数和它的应用。

1、 布尔代数的内容

逻辑本来是哲学和语言学的一个分支，研究怎们样有条理的说话和写文章，远在古希腊时代就已经存在了。到了十九世纪，英国数学家乔治·布尔，为逻辑推理发明了一套可以像算术演算一样的计算方法，这就是我们所说的布尔代数。现在的数学书上已经把布尔代数讲的云里雾里，看起来就让人头大，但其实它本来是很简单的。

所谓逻辑，就是判断真假或者是非。逻辑的基础是三段论，这是古希腊的哲学家亚里斯多德发明的，包括一个大前提、一个小前提和一个结论。我们举个例子来看一下：

1、 所有人都是会死的。（这是大前提）

2、 苏轼是人。（这是小前提）

3、 所以，苏轼也是会死的。（这是结论）

在这个推理的三段论中，我们关心的是最后的结论是真的，还是假的。当大前提和小前提都是真的时，那么结论也必然是真的。

前面的例子是一个单一的判断。布尔代数是关于几个判断之间的逻辑关系的演算，所以称为逻辑代数。

假设，关于苏轼，有下面两种说法：

● 苏轼是诗人。这个大家都知道是真的。

● 苏轼还活着。这显然是假的，苏轼死了都一千多年了。

在这两种说法的基础上，我们来看看下面几种说法的真假：

● 苏轼是诗人，并且，苏轼还活着。

这种说法自然不能成立。因为，'并且'是一个并列的逻辑关系，其前后的条件都必须为真，整个判断才能成立；如果其中的任何一个条件是假的，那么整个判断就是假的，这个事件就不会发生。

在上面的说法中，如果把表示逻辑关系的词'并且'换成'或者'，像下面这样：

● 苏轼是诗人，或者，苏轼还活着。

那么，这种说法就是成立的，因为，'或者'是一个选择性的逻辑关系，所有的条件中，只要其中任意一个条件是真的，那么，这个判断就是真的，这整个事件就会发生。

这是两种最基本的逻辑关系。除此之外，我们还有关于'否定'的逻辑关系，就是'非'逻辑。'非逻辑'就是对一个判断作相反的操作，'真'的一否定，就变成了'假'的；'假'的一否定，就变成了'真'的。比如：

● 苏轼不是诗人。

这就是假的。

乔治·布尔就是用数学的方法来研究我们前面讲的这些逻辑关系。他用字母来代替我们前面那些例子中的具体的人和事，并且他用数字1表示'真'，用数字0表示'假'。这样一来，逻辑判断就变成了数学运算。

比如，我们用A代表'苏轼是诗人'，用B代表'苏轼还活着'，用C表示'苏轼已经死了'，

因为A、C是真的，B是假的，所以

A = 1，B = 0，C = 1

同时，用'乘法'来表示'且'运算，用'加法'来表示'或'运算，在字母上面加一撇''''表示'非'运算，那么，这三个判断之间的逻辑关系就可以变成这样：

A + B = 1 + 0 = 1

A + C = 1 + 1 = 1

A·B = 1·0 = 0

A·C = 1·1 = 1

B' = C = 0' = 1

大家可以把语言判断句代进去验证一下是否正确。

逻辑代数有下面几个规则和运算法则，因为逻辑运算不是算术计算，所以规定：

● 逻辑变量和运算结果的值只能取0和1；

● 1 + 0 = 1

● 1 + 1 = 1

● 0 + 0 = 0

● 1·0 = 0

● 1·1 = 1

● 0·0 = 0

交换律：

A + B = B + A

A·B = B·A

结合律：

(A+B) + C = A + (B + C)

(A·B)·C = A·(B·C)

吸收律：

A + A·B = A

(A + B)(A + C)=A + B·C

反演律：

（A·B·C……）' = A' + B' + C' + ……

有了吸收率和反演律，有些看似非常复杂的逻辑关系，就可以化简合并。比如：

这个式子中字母上面的短横和前面式子中的'''是同样的意思，代表'非'运算。

2、 布尔代数的用途

讲了这么多，大家可能要问，布尔搞出这些无聊的字母游戏有什么用？

我们前面已经说过，这个东西用处非常巨大。它是我们现代这个电子时代和信息社会最底层的基本原理。如果没有布尔代数，什么计算机、自动控制、手机、互联网等等这一切，都不可能存在。

我们从具体的实例说起。

我们知道，计算机、手机、自动控制系统、人工智能等等这些东西，都是用集成电路——也就是电子芯片组装起来的。而集成电路是由几千万、上亿个晶体管组成的。最简单的晶体管就是二极管：

二极管是一种只能单向导电的电子元件。电流只能从正极流向负极，反向则不通。所以二极管相当于一个'开关'。我们可以假设开关接通的状态为'1'，开关不通的状态为'0'，这样就可以用开关电路模拟逻辑状态，组成逻辑电路。比如下图：

这是一个由二极管组成的 '二与门' 逻辑电路：IN1 、IN2 为两个输入端，OUT 是输出端。当输入端有一个，或两个为低电位 0 时，二极管导通，输出端被钳至低电位 0 ；当输入端 IN1 与 IN2 都是高电位 1 时，输出端就是高电位 1 了。这就是二极管组成的二输入端'与门'电路。

最基本的逻辑门是与门、或门和非门。逻辑门可以由电阻、电容、二极管、三极管等分立原件构成，成为分立元件门。也可以将门电路的所有器件及连接导线制作在同一块半导体基片上，构成集成逻辑门电路。基本逻辑电路通过不同的组合关系，就形成了人们所需要的各种数字电路，将他们制作到一块芯片上，就是通常所说的集成电路。

三、电子管的发明

有了数学公式和科学原理，并不能产生任何实际的用途。还必须有相应的实现这些功能的物理元件。电子管和晶体管的发明，为实现逻辑控制和信息的数字化处理，铺平了道路。

1904年，英国工程师、物理学家J.A.弗莱明首先发明了电子二极管，又叫做真空二极管（如下图）。它是具有两个端子的电子元件，密封在玻璃管之内。电流可以从阳极流向阴极，不能从阴极流向阳极。因此，二极管具有整流和开关的作用。人类第一只电子管的诞生，标志着世界从此进入了电子时代。

1906年，美国发明家德福雷斯特（De Forest Lee），在二极管的灯丝和极板之间巧妙地加了一个栅板，从而发明了第一只真空三极管。

电子管

电子管

三极管集检波、放大和振荡三种功能于一体，在工业上获得了极其广泛的应用。因此，许多人都将三极管的发明看作电子工业真正诞生的起点。电子管的问世，推动了无线电电子学的蓬勃发展，很快被用于接收器、无线电及收音机上。1921年，世界上第一个广播电台在美国的匹兹堡诞生，收音机开始普及，电子管生产迅速发展。40年代时，人们又把它们应用到计算机上，制成了世界上第一台电子计算机。

到1960年前后，西方国家的无线电工业年产10亿只电子管。电子管除应用于电话放大器、海上和空中通讯外，也广泛渗透到家庭娱乐领域，将新闻、教育节目、文艺和音乐播送到千家万户。就连飞机、雷达、火箭的发明和进一步发展，也有电子管的一臂之力。

J.A.弗莱明，1849年出生于英国的兰彻斯特，毕业于伦敦大学和皇家化学学院，1870年获理学士学位。

1877年，弗莱明进入剑桥大学卡文迪许实验室工作，成为J.C.麦克斯韦的弟子，在麦克斯韦的指导下研究电学和高等数学。麦克斯韦就是预言了电磁波和写出著名的麦克斯韦方程组的那位伟大的物理学家。

1881年，弗莱明任诺丁汉大学物理学和数学教授。1882～1898年先后担任伦敦电灯等工业企业的工程师和顾问。1899～1926年任马可尼无线电报公司的科学顾问。1930年后任电视学会会长。弗莱明在变压器设计、白炽灯、光度学、电气测量、低温材料性能的研究等方面均有突出贡献，参与和见证了现代电子工业的产生和发展。弗莱明曾多次获得荣誉奖章，1929年因科学成就获得爵士称号。佛莱明于1945年去世，享年96岁，是一位很长寿的科学家。

和弗莱明相比，美国发明家德福雷斯特的发明历程可谓一波三折。1899年深秋，国际快艇比赛在美国举行，意大利发明家、无线电的发明者马可尼接受邀请来到美国，用他的无线电装置报道比赛情况。在此之前，马可尼已经顺利地把无线电信号从英国传到欧洲大陆，电波跨越了英吉利海峡。这一次马可尼的无线电又大显神通，及时报道了赛场的消息，他的发明使崇尚科学的美国人民惊叹不止。

为了宣传无线电，马可尼为美国人民进行了无线电通讯表演。表演的这一天，德福雷斯特天没亮就赶来了，他要亲眼看一看电波是怎样传送的。表演结束后，他还恋恋不舍。他从人群中挤到发报机前面，惊奇地看着这架神奇的机器，他的目光停留在一个装着银灰色粉末的小玻璃管上。他问马可尼的助手，这大概就是金属屑检波器吧？助手点了点头。

德福雷斯特的问话被马可尼听见了，于是，他走上前向马可尼自我介绍说，自己是个业余无线电爱好者。马可尼幽默地说，他也是一个业余无线电爱好者。无线电使两位青年成了知己。马可尼告诉他，自己正在设法提高接收机的灵敏度，看来关键是检波器。马可尼的话给德福雷斯特留下了深刻的印象，他决心从事检波器的研究。

两个月后，德福雷斯特辞去了芝加哥西方电器公司研究所的工作，在纽约泰晤士街租了一间小屋，没日没夜地研究起新检波器来了。

两年过去了，新检波器还毫无踪迹。不久，一个消息传来：英国的弗莱明已经捷足先登，抢先一步发明了二极管。德福雷斯特听到后，又高兴又沮丧，高兴的是自己的思路竟与大名鼎鼎的弗莱明不谋而合，两年的研究总算走上了正路；沮丧的是，科学发明犹如百米赛跑，人们只青睐第一个到达终点的人，而自己功亏一篑，落后了一步。

接下来的路该怎么走，德福雷斯特颇感踌躇。放弃吧，两年的努力将付诸东流，德福雷斯特感到很不甘心。他决心换个思路，重新开始。

他想，弗莱明的发明只是一种出色的整流器和检波器，而自己却要发明一种信号放大器。他要在弗莱明发明的基础上更上一层楼。

德福雷斯特制造了几只真空管，外表上与二极管几乎一模一样，不同的是，他在灯丝和板极之间封了一小块锡箔，形成第三极。他发现，在第三极上加一个不大的信号，就可以改变板极电流的大小，第三极微小的变化就能使板极电流发生较大的变化，两者的变化非常合拍。他意识到，信号被放大了，自己已制成了第一只信号放大器。

德福雷斯特知道这个发明的价值，无线电的面貌将会从此改观。他没有立即宣布自己的发明，而是对此又作了一些改进，例如用金属网代替锡箔。但是，进一步的研究需要钱，而他已经衣衫褴褛，身无分文。

为了电子管未来的命运，这位狼狈不堪的博士只得到几家大公司去游说，向人们宣传这种小小灯泡的神奇作用，以求获得资助。

可谁知事与愿违，根本没有人相信这个衣着破烂的青年会作出什么发明，也没有人相信这个小灯泡会有什么大的用途。

几家公司把他赶了出来，一家公司把他扭送到警察局。1906年春天，纽约地方法院以诈骗罪进行了公开审判，发明家一时成了'诈骗犯'。

开庭的那一天，法庭上挤满了看热闹的人群。许多记者也赶来采访新闻。

法官问德福雷斯特，为什么要用这种小灯泡进行欺骗，德福雷斯特回答说，他根本没有欺骗，这确实不是一只平常的灯泡，而是具有放大功能的新发明。

'凭着这种发明，可以接收到大西洋彼岸传来的微弱信号。'他在法庭上宣称：'历史必将证明，我发明了空中帝国的王冠。'

他从无线电说到检波器，从二极管说到三极管，把威严的法庭变成了宣传科学的课堂。法庭上鸦雀无声，法官们也开始理解了他的发明，听众们也为他的精神所感动，大家这才知道，被告原来竟是位发明家。

审判结果，德福雷斯特被宣布无罪释放。

世界上的事总是物极必反，暗极则光。法庭辩论使他成了纽约的名人，这为三极管的出世铺平了道路。1906年6月26日，德福雷斯特的三极管获得了发明专利。

这一专利从此改变了这个世界。

四、世界上第一台电子计算机

1946年，美国人莫克利博士（JohnW.Mauchly）和他的学生艾克（J.PresperEckert）发明了世界上第一台电子计算机，取名埃尼阿克(Eniac)。它是在宾夕法尼亚大学研制成功的，是美国国防部向宾夕法尼亚大学订制的，用来进行弹道计算。

这台计算机是一个庞然大物（见下图），用了18000个电子管，占地150平方米，重达30吨，耗电功率约150千瓦，每秒钟可进行5000次运算。现在看来这实在是微不足道，因为现在一台手机的运算速度已经达到了每秒4亿次到20多亿次的运算速度，但在当时这却是破天荒的发明，开启了一个新的时代。

世界上第一台计算机

埃尼阿克(eniac)的发明是在莫克利博士的领导下，由一群科研人员共同努力的成果，但其中数学家冯·诺依曼的设计思想在其中起到了关键作用，所以冯·诺依曼被称为现代计算机之父。我们在以后会专门讲到冯·诺依曼。

埃尼阿克属于第一代电子计算机，耗电多，速度低，造价高，使用不便，因而主要用于一些军事和科研部门进行科学计算。

为了解决电子管耗电高、速度低、体积庞大的缺点，人们积极探索，寻求可以替代电子管的元器件。物理学家在研究导体的导电性能时，发现了半导体材料与众不同的导电特性。在此基础上，1948年，美国贝尔实验室的肖克莱、巴丁和布拉顿组成的研究小组发明了晶体管，10年后晶体管取代了计算机中的电子管，诞生了晶体管计算机。

晶体管的发明又为后来集成电路的降生吹响了号角。因为这一划时代的发明，肖克莱、巴丁和布拉顿获得了1956年的诺贝尔物理学奖。