【原】第十七课时 π与计算机之间的关系及有关π的一些问题

教学目标：了解圆周率与奔腾之间的奇妙关系。让学生体会数来源于生活并且随着人类社会的发展而发展，培养学生对文化的景仰和热爱。

教学过程：

 一、π与计算机之间的关系   

奔腾（Pentium）是英特尔公司推出的一款中央处理器（CPU，全拼：Central Processing Unit / Processor）。第一款奔腾CPU是1993年3月22日，英特尔公司推出的Pentium 60MHz 和 66Mhz 处理器，采用了0.80 微米工艺技术制造，核心由310万个晶体管组成。它是一个划时代的产品。其后，intel公司相继推出了一系列奔腾产品，影响了PC领域达十年之久。奔腾处理器支持计算机更轻松的集成现实世界数据，如语音、声音、手写体和图片等。目前，“奔腾”这个名字依然在使用。

对我们一般人来说，评价计算机的好坏就是看其性能稳定程度和运行快慢程度。而计算机的核心是中央处理器，所以计算机的好坏实质上是计算机所使用的中央处理器的好坏，判定中央处理器性能的一项重要指标是运算速度与计算过程的稳定性。

而圆周率π就被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性，以此来对计算机本身进行改进。1993年，当Intel公司推出奔腾（Pentium）时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行 π 的计算而找到的。这正是超高精度的π计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。

虽然计算机的计算速度超出任何人的想象，但毕竟还需要由数学家去编制程序，指导计算机正确运算。实际上，当我们把 π 的计算历史从实验时期、几何法时期、分析法时期过渡到计算机时期时期时，并非意味着圆周率计算方法上的改进，而只是计算工具有了一个大的飞跃而已。因而如何改进计算技术，研究出更好的计算公式，使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题。  

二、有关π的一些问题

在寻找设计有关π的数学公式方面，好多人做出了杰出的贡献，比如韦达有公式，比如梅钦有公式

比如德国数学家莱布尼茨有级数公式 ， 比如威廉姆斯无穷乘积式，比如达塞利的公式  ，而在所有的公式中，当数印度天才数学家拉马努扬（1887.12.22－1920.4.26)的公式，他发现了许多能够迅速而精确地计算π近似值的公式比如    和  。他的见解开通了更有效地计算π近似值的思路。现在计算机计算π值的公式就是由他得到的。目前发现的计算π值收敛速度最快的级数形式的计算公式是  。

关于计算机所用π的计算问题,还有一个回避不了的问题,那就是:我们能否无限计算下去？答案是：不行！根据朱达偌夫斯基的估计，我们最多算1077位。为了不受这一界限的约束，就需要在计算理论上有新的突破。否则,只要中间有一个数字出错,就全盘皆废了。谢克斯花了二十年时间好不容易算到了小数点后７０７位，不想因第５２８位出了错，就成为了数学史上笑话级人物，虽然，我个人认为他很了不起。

那么，能否计算时不从头开始，而是从半截开始呢？这一根本性的想法就是寻找并行算法公式。1996年，圆周率的并行算法公式终于找到，用它很容易得出1000亿位的数值，但这是一个十六进位的公式，只不过十六进位不如十进位方便。但是否有十进位的并行计算公式，仍是未来数学的一大难题。 

除此之外，人们还对π的展开式很有兴趣。作为一个无穷数列，数学家感兴趣的把π展开到上亿位，这样能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题，可以发现许多迷人的性质。如：在π展开式中的十个数字——０、1、2、3、4、5、6、7、8、9，哪些比较稀，哪些比较密？哪些数字出现的频率高？哪些数字出现的频率低？某些数字的出现是不是有规律？这样的想法并非是无聊之举。只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单，许多人司空见惯但却不屑发问的问题。 

英国数学家弗格森有过这样的猜想：在π的数值式中各数码出现的概率相同。正是他的这个猜想为发现和纠正谢克斯计算的π值的错误立下了汗马功劳：他发现谢克斯的计算从第528位就错了，然后他和伦奇给出了808位正确小数的π的值。然而，弗格森想验证他的猜想，却无能为力。后人也想验证它，也是苦于已知的π值的位数太少。因为位数太少时，人们有理由对猜想的正确性提出怀疑。如数字0的出现机会在开始时就非常少：前50位中只有1个0，在第32位上。可是，这种现象随着数据的增多，很快就改变了：100位以内有8个0；200位以内有19个0；……1000万位以内有999，440个0；……60亿位以内有599，963，005个0，几乎占1／10。 其他数字又如何呢？结果显示，每一个数字都差不多是1／10，有的多一点，有的少一点。虽然有些偏差，但误差都在0.0001之内。 

人们还想知道：π的数字展开真的没有一定的模式吗？我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布，寻找任何可能的模型――如果存在这种模型的话，可惜迄今为止尚未发现有这种模型。

同时我们还想了解：π的展开式中含有无穷的样式变化吗？或者说，是否任何形式的数字排列都会出现呢？著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题：π的十进展开中是否有10个9连在一起？以现在已算到的60亿位数字来看，已经出现了连续6个9连在一起。除此之外，还出现连在一起的8个8；9个7；10个6；小数点后第710150位与3204765位开始，均连续出现了七个3；小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字，这恰是的前八位；小数点后第2747956位起，出现了有趣的数列876543210，遗憾的是前面缺个9；还有更有趣的数列123456789也出现了。看来，希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的，看来任何数字的排列都应该出现，只是什么时候出现而已。但这还需要更多π的数位的计算才能提供切实的证据。

我们期待π的进一步研究成果。我们也期待欣赏π的特殊美。