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最大张角问题——米勒问题 圆里面有一个最大张角问题（即圆周角大于圆外角），这也是近年来陕西中考数学命题的一个热点，下面介绍一下圆周角大于圆外角,如图1-1所示,即∠C＞∠D.如图1-2所示,圆周角小于圆内角，即∠C＜∠D. 结论：圆周角大于圆外角；圆周角小于圆内角 这一结论，在生活中有广泛的应用. 上面的问题等价于： 已知，如图1-3所示.点A、点B是∠MON边ON上的两个定点，点P是OM上一动点，则当点P在何处时，∠APB最大？这一问题就是重要的米勒问题.下面我们研究 有了前面的引例，∠APB最大问题等价于ΔAPB的外接圆与边OM相切时，切点就是点P的位置. 如图1-4所示：P'为切点，则根据切割线定理有OP'2=OA˙OB 这一重要结论就是非常著名的米勒定理 米勒定理：如图1-4所示.点A、点B是∠MON边ON上的两个定点，点P是OM上一动点，则当且仅当ΔAPB的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大.如图中的∠AP'B最大. 例题：（2019西交大四模25题） 问题发现： （1）如图2-1，AB为⊙O的直径，在⊙O上求作一点P，使∠ABP=45°. 问题探究： （2）如图2-2，等腰直角ΔABC中，∠A=90°,AB=AC=3√2，D是AB上一点，AD=2√2,在BC边上是否存在点P.使∠APD=45°.若存在，求出BP的长度;若不存在，请说明理由. 问题解决： （3）如图2-3，是矩形足球场示意图，其中宽AB=66m，球门EF=8m,且EB=FA.点P、Q分别为BC、AD上的点，BP=7m，∠BPQ=135°.一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长. 简析： （1）如图2-1-1所示. （2）如图2-2-1所示: 第一步：确定点P的位置.由于AD=2√2,要使∠APD=45°可作ΔAPD的外接圆.首先确定圆心O，如图所示2-2-1所示，∠AOD=90°.再以OA为半径作圆,与BC交于P'、P.即∠APD=45°或∠AP'D=45°. 第二步：理由：易证：OH＜⊙O的半径2，故⊙O与BC有两个交点. 而∠AOD=90°,所以，∠APD=∠AP'D=45°. 第三步：计算：如图2-2-3所示，易得BH=3,P'H=√3，所以BP'=3-√3或BP=3+√3. （3）如图2-3-1所示 第一步：作图确定∠EMP的最大时，点M的位置.作ΔEMF的外接圆，使点M为切点，即M'位置. 第二步：理由：∠EM'F=∠ENF≥∠EMF(当M与M'重合时取等号). 此时∠EMF最大，最大为∠EM'F.（圆内角大于圆外角） 第三步：计算：如图2-3-2所示，根据切割线定理得：TM'2=TE˙TF 即（7√2+PM'）2=36˙44 解得：PM'=-12√11+7√2(舍负) 则PM'=12√11+7√2, 或可以证ΔTEM'∽ΔTM'F得出PM'的值， 这里不再计算. |
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