草根分析|这些解是如何想到的?(一类容易忽略的圆的多解问题)

有朋友网上问了我这样一个问题：

已知O₂为圆O₁外一点，以O₂为圆心作一个圆与圆O₁相交于A、B两点，∠APB为圆O₁上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交圆O₂于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系【据查本题来源于2012年江苏南京中考压轴题】

<她的问题是：我自己就画了一种情况，一看答案，答案的四种情况是怎么想到的啊？利用几何画板吗，要是考试也没法用啊？>

对此我试着做一解释，如果有更好的办法，也请各位网友不吝赐教

解：剖析自己的想法，首先想到的是这两种情况

情况（1）∠APB=∠MAN-∠ANB（定理：圆外角等于所交两弧所对圆周角之差）

情况（2）∠APB=∠MAN+∠ANB（定理：圆内角等于所交两弧所对圆周角之和）

我以点P在圆O1内和圆O2外两种进行分类，得到以上两种情况，并且对应上相关的定理，应该大功告成啊，那另两种情况又从何而来啊？

就第一种情况，我进行了“脱圆尝试（我自己定义的:),指的是突出圆的本质属性，而不画出圆）”

考虑到与圆两个交点和圆外一点一定是不共线三点，所以定能确定一个圆，可以姑且把点P理解为圆外的一点，向圆引两条射线与圆交于四点，那点A与点M的位置是否可以互换？点B与点N的位置是否可以互换？

① 点A与点M的位置互换

情况（3）∠APB+∠MAN+∠ANB=180°（三角形内角和为180°）

② 点B与点N的位置互换

情况（4）∠MAN+∠ANB+（180°-∠APB）=360°（三角形外角和为360°）

哇！四个解终于出炉了，且慢这样又带来一个新的烦恼即为什么“点A与点M的位置互换”与“点B与点N的位置互换”能否同时进行？

要回答这个问题，必须从边界入手重新审视刚才互换的刹那究竟发生了什么？

原本“点A在线段MP上”即P→A→M，到“点M在线段AP上”即P→M→A中间时刻应该是A、M重合，而直线与圆的两个交点重合，那是什么？就是相切啊！也就是说有一刹那是直线AP与圆O2相切！也就是说“直线AP与圆O2相切”是情况（1）与情况（3）的界点，同理“直线AB与圆O2相切”是情况（1）与情况（4）的界点，那两条直线同时与圆相切可以不可以？我们来看同时相切时发生了什么？

对啦，O2P成为了圆O1的直径了即点O2在圆O1上，也就是说如果同时交换点A、M与点B、N的位置时，点O2就在圆O1内，与题意不符！

试题这样的设置在圆的问题中并不罕见！大家可看看这道来自杨浦区的经典二模压轴题

那点P在圆O2内互换点的位置有影响吗？我的结论是无影响！大家看下图：

∠APB=∠MAN-∠ANB（依旧符合定理：圆外角等于所交两弧所对圆周角之差）

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所以本题的思路：① 点P在圆O2内或圆O2外；② 隐去圆O1尝试互换A、M与B、N的位置；③ 考虑解的存在性

（抛砖引玉，望网友提宝贵建议）