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. 正方形与动态问题(1) ——中考备考系列 【试题1】如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F． （1）证明与推断： ①求证：四边形CEGF是正方形； ②推断：AG/BE＝______； （2）探究与证明： 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝______． 【图文解析】 （1）本小题属基础题，只做简要解析 ①由“三直角”得矩形+'邻边相等”(由角平分线的性质得GE＝GF)，可以证明四边形CEGF是正方形. ②由EG∥AB可得CG/AG＝CE/BE，进一步，得AG/BE＝CG/CE＝√2. （2）这是一个典型的“旋转相似“的基本图形（相当于共直角顶点的两等腰直角三角形旋转），因AC/BC＝CG/CE＝√2：1，且∠ACG＝∠BCE＝900－∠ACE，可得△ACG∽△BCE，如图示： 由相似三角形的性质，即可得到AG/BE＝AC/BC＝√2：1. 【拓展延伸】 将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转任意角度，线段AG与BE之间的数量关系总保持：AG/BE＝√2：1.如下图示（展示部分图形）： （3）原题展现： 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2√2，则BC＝______． 【图文解析】 DF＝BE＝3√2 ∠BFD＝∠BCD＝900. 进一步，得到： 【拓展延伸】 正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6， BC＝3√5，则GH＝______．
答案：GH＝2√2. 下面是本人主编或编著的书(点击书名，打开对应书籍的相关说明、目录与样章)： 购买渠道:'微店'(打开相关文章，扫描文中的二维码进店购买). 提醒：任何淘宝网均无授权销售，请朋友们认清购买渠道． 请分享转发给需要的朋友，谢谢！ 【试题2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G． （1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形． ①若点G为DE中点，求FG的长． ②若DG＝GF，求BC的长． （2）已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
【题干解读】 由“在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12”说明此直角三角形尚未确定，是一个动态直角三角形，由“点D在直线CB上”说明点D是一个直线CB上的一个动点，而四边形ACDE是个矩形，可得到多个直角和多对线段相等，而点F、G是直线与直线的交点，画图时要特别关注，否则图形容易画不出或画错．由此看出：依据各个小题的条件画出正确的图形是解决本题的关键． 【图文解析】 （1）当点D在线段CB上，四边形是正方形时，如下图示：
由“正方形ACDE”可得到无数个完美的结论，如：就图中因平行而得到的相似现成的就有多对：△AEF∽△BCF，△AGE∽△BGD∽△BAC，△ACF∽△GEF等.，由此得到的相关结论…… ①当G为DE的中点时，通过全等，不难得到：（如下图示）：
根据勾股定理，得AG=6√5，进一步地，
有：FG/AF＝EG/AC＝1/2，所以FG＝1/3×AG＝2√5． ②当DG＝GF时，由正方形的对称性和三角形的内外角的性质，不难得到： 900－α＝2α，解得α＝300，如下图示：
因此BC＝AC/tanα=12√3． （2）当BC＝9时，△ABC可解，是确定的，且根据勾股定理，可得AB＝15，进一步得到BC：AC：AB＝3：4：5，由“题干解读”知：△BDG∽△BAC，从而BD：DG：BG＝3：4：5，可设BD＝3x，DG=4x，BG=5x． 另一方面，由于D是在直线CB上的动点，因此要根据点D的位置进行讨论： ①当点D在线段CB上时，此时只有一种DG＝FG可能，如下图：
进一步地，有：
即x2－6x＋5＝0， 解得x1＝1，x2＝5（舍去） 当x=5时，9-3x<0，不舍题意， 所以腰长GD为＝4x＝4． ②当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF＝DG，如下图示：
类似上述解法：
即x2－6x＋5＝0， 解得x1＝1（舍去），x2＝5 当x=1时，3x-9<0，不合题意， 所以腰长GD为＝4x＝20． ③当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF＝DG，
接下来的解法，与上述类似，也是通过相似（或三角函数的定义）．
【反思】本题解答过程中的图形复杂，需要梳理好线段间的关系，整个解题过程，用的就是相似或三角函数，特别要注意在动态变化过程中，△BGD与△ABC永相似，因此三边的比保持不变，事实上所以的相关图形在变化过程中，均保持同样的相似或比值相等关系，其中第三、四问所用到的辅助线也是最常见的（构造母子Rt△或等腰三角形“三线合一”）． 【试题3】已知正方形ABCD，点M为边AB的中点. （1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD 交于点E，F. ①求证：BE＝CF； ②求证：BE^2＝BC·CE. （2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE^2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG延长交 CD于点F，求tan∠CBF的值.
图文解析： （1）①如下图示，通过△ABE≌△BCF（ASA）不难证得BE＝CF.
②如下图示：可证得：BE＝CF＝CG，△CEG∽△CGB（AA），得到CG：CE＝BC：CG，从而CG^2＝BC×CE.又因BE＝CF＝CG，所以BE^2＝BC·CE（得证）.
（2）法一：添加如下图所示的辅助线.
由CD∥AB得△CNE∽△BAE，得到CN：AB＝CE：BE，所以CN×BE＝AB×CE＝BC×CE.又BE^2＝BC·CE（已知），所以CN×BE＝BE^2，得CN＝BE. 另一方面： 如下图示，由CD∥AB得△CNG∽△MAG，得到CN：AM＝CG：GM.
反思：解法中的 “CN＝CF”的证法思路是通过两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质和比例的性质得到，是很易被忽略或遗忘的一种解法。
反思：解法中用到了“设元”——方程思想，这也是在几何计算中常用的方法，尤其在相似或三角函数的运用中，经常通过比例和（或线段间“和差倍分”）关系设元。 【试题4】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E在AD边上运动，且不与点A和点D重合,连结CE,过点C作CF⊥CE交AB的延长线于点F,EF交BC于点G. （1）求证：△CDE≌△CBF； （2）当DE=1/2时，求CG的长； （3）连结AG，在点E运动过程中，四边形CEAG能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由.
(3)若四边形CEAG为平行四边形，则有： 得到∠BFG=45°，又∠EFC=45°，所以∠BFC=∠BFG+∠EFC=90°.此时F点与B点重合，点D与点E重合，与题目不符.所以点E在运动过程中，四边形CEAG不能为平行四边形. |
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