矩形与动态问题（1）——中考备考系列[尖子生之路]

矩形与动态问题（1）

——中考备考系列

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【试题1】如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝√6，则AB的长为________．

【图文解析】

由AG⊥GF，不难想到如下常见思路（设矩形的两邻边长为2a和2b）和常用辅助线（“一线三等（直）角）:

则由∠1＝∠2，可得tan∠1＝tan∠2，所以2a:b=b:a，可得b²=2a²，所以b=√2×a（负值舍去）．

又从AC＝√6，根据勾股定理，可得：

因此有：(2a)²＋(2√2a)²=(√6)²，

整理，得：12a²=6，2a²=1,

解得：√2a=1(负值舍去),.

所以AB＝2b=2√2a=2.

【反思】常见的解题思路，常见的辅助线的熟练掌握是解题的关键，同时在含有直角的图形背景中，尽量用三角函数的定义来求解，书写更方便．

【拓展延伸】如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知∠AGF＝60⁰，AB＝4，求四边形EFGH的面积．

提示：构造“一线三等角”的基本图形．可求得: BC=√3+√11,…．

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【试题2】如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝√2，则AP的长为____．

【图文解析】

 设AB＝a，由矩形ABCD的面积为32√2，可得AD＝32√2/a.由折叠△ABD可得AP＝2AF，同时又有：（如下图示）

同时不难得到：∠1＝∠2.

分别在直角△ABD和直角△ABE中，有tan∠1＝BE/AB＝AB/AD＝tan∠2，得到AB²＝AD×BE，即a²=√2×32√2/a＝64/a，得到a³=64，所以AB＝a=4，进一步得AD＝32√2/a=8√2.

  如下图示，在直角△ABD中，由勾股定理得AB＝12，又由于AF⊥BD于F，由三角形面积公式不难求出AF的长.

 

  由S_△ABD＝0.5AD×AB＝0.5BD×AF，得AF＝AD×AB/BD＝…＝8√2/3，得到AP＝16√2/3.

【拓展延伸】

 如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝√2，若PD与BC相交于G，则CG的长为____．

答案：CG=7√2/2.

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【试题3】对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上(如图①)，再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合(如图②).

(1)根据以上操作和发现，求CD/AD的值；

(2)将该矩形纸片展开.

       ①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开.求证：∠HPC=90°.

       ②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上.请简要说明折叠方法.(不需说明理由) 

【题干精析】

  

【图文精解】

 （3）由（2）的分析可知，AP＝BE＝BC=AD，则有以下两种方法：

①如下图，将矩形ABCD沿过点C的直线折叠，使点B的对应点B′落在CE上，则折痕与AB的交点即为点P；

②如下图示，将矩形ABCD沿过点D的直线折叠，使点A的对应点A′落在DC上，则折痕与AB的交点即为点P．

【方法精点】

1．由图形的折叠可以得到相等的线段与相等的角，折叠前后的对应点的连线与折痕所在直线是垂直平分关系．

2．∠HPC=90°的证明，是先计算出与∠HPC相关的三角形的三边，再利用勾股定理的逆定理进行证明．

【拓展精深】

如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上．以AD为折痕将△ABD折叠到△AB’D，AB’与边AC交于点E．若△DEB’为直角三角形，则BD的长是多少？

【答案或提示】BD=5或BD=2．

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【试题4】如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是                （写出所有正确结论的序号）

①当E为线段AB中点时，AF∥CE;

②当E为线段AB中点时，AF=9/5;

③当A、F、C三点共线时，AE=（13-2√13）/3 ;

④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF，

【图文解析】

（1）当E为线段AB中点时，如下图示：

根据三角形中位线定理，得AF∥CE.本结论正确.

（2）由（1）可进一步得到：AF＝2EG．

而EG可在最基本的图形——子母直角三角形中易求得，如下图示：

由勾股定理，可得CE＝…＝2.5．

分别在Rt△EBC和Rt△BEG中，由三角函数的定义有：cos∠1＝EG/BE=BE/CE＝1.5/2.5＝3/5，所以EG＝BE×cos∠1＝1.5×3/5＝0.9.

       可得到AF＝2EG＝1.8＝9/5．因此本选项正确.

（4）当A、F、C三点共线时，由（3）知：AF≠CF，AE≠CE，所以△CEF与△AEF不全等，故④错误.

【拓展延伸】本题条件不改变的情况下．当AE为何值时，D、F、E三点在同一直线上？

答案：AE＝√5．