矩形与动态问题（2）——中考备考系列[尖子生之路]

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矩形与动态问题（2）

——中考备考系列

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【试题5】如图，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）.

①当E为线段AB中点时，AF∥CE;

②当E为线段AB中点时，AF=9/5;

③当A、F、C三点共线时，AE= AE=(13 – 2√13)/3  ;

④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF.

【图文简析】

  ①、②当E为线段AB中点时，连接BE，根据折叠的性质，BF垂直平分CE，如下图示：

  根据三角形的中位线定理，不难得到AF∥CE.所以①正确.

   同时还可得到AF＝2EM，分别在Rt△BCE和Rt△BEM中，有：    

   所以EM＝BE²/CE＝…＝9/10.

因此AF＝2EM＝…＝9/5，故②正确.

  ③与④：当A、F、C三点共线时，不难得到AC＝√13，同时有：（如下图示）

在Rt△AEF中，根据勾股定理，得：

 (√13－2)²+(3-x)²=x²，

 解得x=(13 –2√13)/3.

 因此③正确.

 因AF≠CF，所以△CEF与△AEF显然不全等，故④不正确.

 综上所述，结论正确有①②③.

【拓展】在原有的条件下，当AE为何值时，B、F、D三点在同一直线上？

答案：AE＝5/3.

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【试题6】在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．

（1）如图1，当t=3时，求DF的长．

（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．

（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．

图文解析：

（1）简析：如下图示：

（2）本题多种解法，仅提供两种解法.

法一：如下图示：

    不难证明，A、E、E、F四点均在以EF的中点M为圆心的圆上，所以∠DEF＝∠CAO＝定角，同时tan∠DEF＝tan∠CAO＝6/8＝3/4.

法二：如下图示：

  不难证明△DME≌△DNF，得DE：DF＝DN：DM＝3/4.又因DE⊥DF，从而∠DEF为定值，同时tan∠DEF＝3/4.

（3）分两种情况：

当S_△DGE：S_△DFG＝1：2时，如下图示：

 

  则EG:FG＝1:2，得FG:EF=2:3.

下图示

进一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=2:3，从而GH＝2t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝8t/9.所以：

 

  再把G点坐标代入直线AC的解析式可求出t的值为：t=75/41.

    当S_△DFG:S_△DGE＝1:2时，如下图示：

则EG:FG＝1:2，得FG:EF=1:3.进一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=1:3，从而GH＝t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝4t/9.所以：

 再把G点坐标代入直线AC的解析式可求出t的值为：t=75/17.

    综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为t=75/41或t=75/17.

   （当然本题有相似的判定和性质来解，或者相结合，解法也类似，下面提供思路）

   反思：本题是在矩形背景下，融入了坐标与图形性质、三角形中位线定理、三角形函数（相似三角形的判定与性质）、平行线分线段成比例定理、一次函数等知识；综合性强，难度较大．

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【试题7】如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部，连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设AD：AE=n．

（1）求证：AE=GE；

（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示AD：AB的值；

（3）若AD=4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．

【图文解析】

（1）如下图示：

由对称知，AF=FE，得∠1=∠2，由GF⊥AF，得∠1+∠4=∠2+∠3=90°，根据等角的余角相等，得∠3=∠4，进一步得到EG=EF，所以AE=EG.

（2）当点F落在AC上时，如下图示：

   分别在Rt△ABE和Rt△ACD中，根据三角函数的定义，可得：

       tan∠1＝a:x=x:na=tan∠2.     

       （当然，本题也可以利用相似和勾股定理来解）.

（3）（注：因本题的图因试题本身条件影响，整体图形的长宽比值很大，在微信文中很难以正常比例完整显示，所以作了缩放处理）

       题目中有一个条件是：点F落在矩形ABCD的内部.而当F点落在BC边上时，如下图示：

  

进一步得到：4a/n=a，n=4，所以当点F落在矩形内部时，n＞4，同时∠FCG＜∠BCD＝90°，因此只有∠CFG=90°或∠CGF=90°两种可能.

  ①当∠CFG=90°时，如下图示，则点F落在AC上，由（2）得，

     

       分别在Rt△ABE和Rt△CDG中，根据三角函数的定义，可得：

      

反思　注意此题中的第3小题中有一个“直角”的基本模型和常见的解题思路，同时本小题所涉及到的分类讨论和方程思想，是解决综合性问题的常用思路和技巧。