山西2014中考数学第15题 另解

山西2014中考第15题 另解

（2014·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=½∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为　_____。

在网上的一般参考解析来说，过F点作FG∥BC．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF=CF=2，DF=√3，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4-2√3，再根据相似可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=√3-1

实际如果该题辅助线作到三角形外部时，该题一下子就又简单了，在我们学生中，都就熟知30°,60°,90°三角形三边之比为1：√3：2 ，等腰直角三角形的三边比为1:1:√2（实质上就是三角函数），做为一个填空题，要灵活应用。

当我们按上图做辅助线，

即作AG⊥CD交CE的延长线于点Ｇ，由三线合一可知CD=½BC＝1，

∠DAC=½∠BAC=15°，又∠ACE=½∠BAC=15° ，所以∠AFG=∠CFD=30°，AF=FC,根据30°,60°,90°三角形三边之比为1：√3：2，所以CF=2,所以AF=2，AG=1，FG=√3，又在等腰直角△AGE中GE=AG=1，所以EF=FG-GE=√3-1.