《周髀算经》
一、书名
对这本书的书名曾有各种不同的译法，不过原书自己解释“周髀”意为“周代的晷表”，同时书中也称它所含的观测资料都来自于周代都城晷表的测量结果。“算经”（“数学经典”）一词直到唐代才加在了书名之上。西方学者常常把这一书名音译为“Chou
pei”，但“pi”的读法得到了古代权威性资料来源的证实（《周髀音义》；见下文）。
二、内容
《周髀》由不同的两章合和而成，主要是论历象与盖天说。它一开头是周公与除此之外不为人知的商高之间的对话，商高解释了矩的数学意义并简要地提到了圆天盖在方地之上，与矩尺相关的是，商高叙述了毕哥达拉斯定理，即直角三角形边长为3比4比5。在这段对话之后是荣方向陈子问天，它相当长，与周、商之间的对话在内容上没有联系，文体也不同，这两个人物不载于史书。
陈子论述了用晷表（一个直竿）于日中测影的方法。在这里以及《周髀》全书使用的晷表长为8尺（约6英尺），直到元代以前中国的天文学都引为成例。在书中提出了这一简单规则：正午之时，观测者如果向北或向南移动1千里，日影将增加或减少1寸。依据这一规则并利用了其他假定，天的形状和尺度都得到仔细地构造。这里所用的日影规则显然是错误的，不过直到七世纪李淳风（602-670）写注解时，这一原理才受到严重挑战。
第二篇开始是一段简短的宇宙论的描述，随后是讲述使用晷表来观测星星的办法。该卷的其余部分讲下列问题：一年中日影正午长度的变化；作为四分类诸历基础的月亮的运行与周期；四分类诸历采用的是365
1/4这样一个回归年时间，为此《周髀》把天分为365 1/4度。
该书的数学水平与《九章算术》的有关部分相当，而这两部书的时代大致同时。这部书熟练地处理了分数，运用了简单的比例，而且开出了平方根。相似直角三角形的性质得到了理解，毕达哥拉斯定理在相当普遍性的意义上得到了应用，尽管并没有给出证明。该书自始至终使用了π=3的近似值。尽管盖天说根据的是地球扁平的假说，但它对昼夜现象、四季现象和它们在地球表面因位置不同而发生的变化方面的描述却具有质的正确性。北极和赤道得到了清楚的描述和思考，包括极地地区六个月的昼夜轮换在内。当浑天说取代了盖天说时，这些特点却失去了。尽管这一新理论作出了对一些现象的准确预测，这些现象是由居于天球中心的观测者看见的，天球中心也是地（仍旧是平的）的中心，中国天文学家假定他们就是处于这样的有利位置。根据《周髀》，周的都城距离地中有103，000里。
三、成书年代
该书显然出于众人之手，一些地方还有讹误和错乱的迹象。根据文中有周公（公元前1050年前后的人）的对话而得出的传统看法认为是西周初年的作品，但这肯定是把时代定得过早了。尽管该书包括了一些战国的资料和观念，但是它的最后编成似乎是在公元前50年至公元100年之间。后一个时间可由两个因素推定：
（1）最早的注本（见下文）属于三世纪；
（2）蔡邕（133-192）约180年的上书中提到了该书的书名（见《后汉书"天文志》，第3217页注）。
该书的上限相当不确定。《汉书"艺文志》（约在90年完成）没有提到该书。《艺文志》照录了刘歆（公元前46-公元23年）的《七略》（约在公元前6年呈献给皇帝）。虽然这一遗漏并不能证明西汉时没有《周髀》一书，但它确实说明该书在当时并不流行或是很有声誉。许多迹象表明，它应是在西汉后期编纂而成：
（1）该书有与当时流行的纬书相关的迹象。其中《孝经援神契》的佚文与该书的部分内容十分相似（见《太平御览》卷一，第10页下所引）。与《周髀》一样，纬书也赞成四分历，四分历在公元前104年正式被官方废除，但到公元85年又重新被官方采用，其部分原因就是由于纬书的支持。
（2）该书对盖天说的详细论证表明它要在与其对立的浑天说的提倡者们的批评面前为自己辩护。浑天说大约在公元前一世纪中期盛行，第一次与盖天说唱反调的叙述见于杨雄（公元前53-公元18）的《法言》（四部备要本，卷十，第1页下）。
（3）类似地，《周髀》描述的用晷表来测天的方法是不切实际的。此类方法只有在使用与浑天说密切相关的浑天仪的情况下才是可行的。
《周髀》的各个部分内容在它被汇编在一起之前曾独立传播了很长时间。类似的观念可追溯到编于公元前139年的《淮南子》和大约编于239年的《吕氏春秋》，而《周髀》在一处曾直接引用了后者。究竟哪一个人或团体把《周髀》的内容合编在一起，这至今仍是一个谜，和纬书的无名作者一样，《周髀》的编者可能希望人们把该书视为从很古传下来的，这样该书就能比它作于当时有更大的影响。
四、注释
《周髀》的保存得力于它的第一个注解者赵爽。在一个地方赵爽提到了乾象历，乾象历是吴国在223至280年正式使用的历法。赵爽的注在一些方面与刘徽给《九章算术》作的注极其相近。我们知道，刘徽注始于263年，直至265年还没有完成。我们有很充分的理由相信赵爽利用了刘徽的注而不是相反，因而，很可能赵爽是在270至280年之间完成了他的注的。在他的序言中，赵爽说他给书中增加了图，这些图现在还保存在书中。另外，正如赵爽在他的注中所说的那样，他弃置了原文中所列的各季节正午日影的长度，而代之以自己的数字（卷二，第63-65页，钱宝琮本，见下文）。赵爽的注就其自身而言也很令人感兴趣。
赵（爽）的名肯定是爽，这从他的序以及其他他提到自己的地方可得到证实，他的字为君卿，这也为公元六——七世纪的注解者们（见下文）所肯定，因而隋代（《隋书》卷三十四，第1018页）和唐代（《旧唐书》卷四十七，第2036页；《新唐书》卷五十九，第1543页）的目录中却都列为赵婴的注而不提及赵爽，尽管这些目录所列疏中说明赵爽的著作为当时所知，这令人不解。毫无疑问当时不可能有第二个姓赵的人为《周髀》作注，正如鲍澣之首先提出的那样，很可能这是把两个字写混的缘故。
甄鸾（560年前后的人）对该书原文及赵注中的计算作了详细的算草。对于今天而言，它们的主要价值在于提示我们，即在甄鸾的时代，学《周髀》的学生只需要一些很基础的数学技能。在唐代，李淳风又疏注《周髀》，他用批评的眼光详细地探讨了《周髀》及其原先的注解。当该书在1084年再版时，皇家图书馆的官员李籍给此书增加了一个附录，题名为《周髀音义》，在该文中李籍对《周髀》原文及注解中的词语注出了意义与读音。李籍的这一著作习惯上附于《周髀》（如《四部丛刊》本和《四部备要》本），尽管在钱宝琮本子中没有收入。
五、文献源流
今存诸本的文字无论在形式上抑或在内容上都基本相同。与注的比较表明，自从赵爽在三世纪时注解该书之后，在文字上没有很大的修订，而且，除了在一个地方明确说明之外（见上文），显然赵爽保留他所见本子的原貌。这是一个被松散地编辑起来并且已经存在一定数量的讹误和错乱的本子，赵爽曾怀疑某些地方是否为《周髀》原文。
文本的错乱状况表明该书曾经历过书写在竹简上的阶段，这在汉代的大部分著作中都是常见的。竹简太容易折断或弄乱次序，自从赵爽增加了图表之后，有可能（但并没有把握）他把原文抄在了丝帛上。如果他真的这么做了的话，这就可以解释为什么他不愿意编辑原文，如果他所得到的是一大堆乱七八糟的竹简的话，那么这是一个最有可能采纳的方法。在赵爽之后，文本的变化只限于个别字的讹误以及重印过程中对图表的歪曲。
直至现存最早的印本诞生以前的该文本的连续性可以得到证实。公元437年，太史令赵海412年前后人，见《宋书》卷九十八，第2416页）把一个《周髀》的抄本和其他书籍一起献给了宋文帝。赵涸诒绷钩沃埃沂切始历的制定者。他很可能就是赵爽的后代，这本书可能是他们家世代相传下来的。到了六世纪，甄鸾从事《周髀》的研究工作。隋代载有此书的三个本子，每本都是一卷，一本有赵婴的注，一本有甄鸾的注，还有一本则有图。
656年，李淳风受诏筹备供太学学生使用的十本数学书籍的校注版本，其中包括了《九章算术》和《周髀》。除了他自己的注解外，李淳风还收入了赵爽和甄鸾的注，并在书名中增加了“算经”两个字。新旧唐书都列有署名为赵婴和甄鸾的一卷本。可能是因为内容增多的缘故，附有李淳风的注解的本子被著录为二卷，这成了所有现代的版本的样子。
所有通行的版本都可追溯到三个来源：
（1）最早的印本，是由北宋皇家图书馆在1084年印行的本子。它与其他包括《九章算术》在内的八种算术书籍一起印行。南宋时鲍澣之重印了这一版本（跋记写于1213年），鲍澣之的一个抄本现藏于上海图书馆，《天禄琳琅丛书》（1932）影印有清代早期对该抄本的一个影抄本。《宋刻算经六种》（北京：文物出版社，1980年）影印了南宋原刻本。
（2）胡震亨的《秘册汇函》（万历年间，1573-1619）收有一个不知其祖本的本子。该本为一系列丛书所采用，其中包括《四部丛刊》和《四部备要》本。该本有许多错误。
（3）一个被抄进《永乐大典》的本子，现已佚失。《四库全书》的编者曾拿它与胡震亨的本子相对校，该本与宋本没有太大的区别。该组合本可见于《万有文库》和《丛书集成》。
所有这些版本都已被钱宝琮的优秀的校本所取代（北京：中华书局，1963年），该本还有一个非常有用的引言。
六、研究和翻译
丁福保（1874-1952）和周云青所编的《四部总录算法编》（上海：商务印书馆，1957年）汇录了有关《周髀》的文献资料。
李约瑟的《中国科技史》第3卷（剑桥大学出版社，1959年）第19-24、210-215页对《周髀》作了探讨；在宇宙论方面，李约瑟沿用了查特莱的误解（《观象台》，61，1938，10），S.中山在《日本天文学史》（哈佛大学出版社，1969年）中在这一方面有更好的叙述。能田忠亮《周髀算经的研究》（京都：东洋文化学会，1933年）是用日文写成，其研究十分细致，有一个英文的简介，该书涵盖了前人所有重要的研究成就。
毕瓯在《亚洲研究》第3卷第11期（1841年，第593-638页）的译本对一般的读者很有用，但在细节上则不可靠。古克礼刚刚完成对《周髀》全书的研究和全译工作，即将以《古代中国的天文学和数学：周髀算经》为题出版（剑桥大学出版社）。
七、索引
《周髀算经、九章算术逐字索引》，刘殿爵、陈方正编，收入《先秦两汉古籍逐字索引丛刊》，香港：商务印书馆，1996年即将出版。
古克礼
（刘国忠 译）
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