做数学题可以说是数学学习的核心,那么怎样才算会做数学题呢? 1、能否从题目的条件或结论中获得确切的信息; 2、能否从记忆中提取与题目相关的信息; 3、对从上述两个方面提取的信息能否有机地组合; 4、能否条理化地整理并形成解题的行动序列; 5、在实施解题序列过程中,推理与运算能否顺利完成。 实际上,信息的收集就是人们常说的读题、审题;信息的加工就是根据收集到的信息个性化地转化为数字、图表、式子等;信息处理就是将加工后的诸信息通过某种方法具体地链接,前两者是挖掘试题的内涵与外延,后者是逻辑表述结果,综合起来就是解题过程。 下面通过具体例子展示对数学试题中信息的收集、加工、处理过程,仅供参考。 例1、设非零向量a,b,c,若,则|p|的取值范围是( ) A. [0,1] B. [0,2] C. [0,3] D. [-3,3] 分析:本题涉及的知识点有3个:单位向量,向量运算,模长范围确定;关键是能否看出是单位向量,方法中隐含数形结合、动态分析。本题体现向量应用的灵活性,难度为中。事实上,若。 解析:(I)信息的收集:①非零向量;②是单位向量;③。(II)信息的加工:①分母不为0;②向量的起点移至原点,终点视为在单位圆上。 (III)信息的处理:①向量方向相同时|p|最大为3;②向量的终点均匀分布在单位圆上时|p|最小为0。故选C。 例2、已知函数,当时,+,则有( ) A. B. C. D. 分析:本题涉及知识点有2个:复合函数的奇偶性,在区间上的单调性,关键是能否从函数的性质入手。本题体现函数性质的综合应用。实际上,由为奇函数,在()上为单调增函数,若,则。其它的情况自己去变。 解析:(I)信息的收集:①;②定义域为;③。(II)信息的加工:①是奇函数;②在()上为单调增函数;③。 (III)信息的处理:由(II)中的①、③可得,同理可得,,从而得,故选B。 例3、三次函数f(x)的图像过原点,且与x轴相切于非原点的一点,若时,f(x)有极值-1,则f(x)=_________。 分析:本题涉及知识点有4个:函数与图像,导数,切点,极值点。关键是能否看出特殊的切点A()()既在原函数图像上又在导函数图像上,而极值点B(-1,-1)在原函数图像上,对应点C(-1,0)在导函数图像上,本题注重导数的综合应用。 解析:(I)信息的收集;①三次函数f(x)的图像过原点;②与x轴相切于非原点的一点;③当时,f(x)有极值-1。 (II)信息的加工:①令;②令切点A(),(),点A既在原函数图像上又在导函数图像上;③点B(-1,-1)在原函数图像上,点C(-1,0)在导函数图像上。 (III)信息的处理:①,,得;②-1、的两根,即,得b=6a;③,,得,从而得。 例4、已知关于x的方程的三个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率。 (1)求的取值范围; (2)若椭圆C以坐标轴为对称轴,短轴长为4且有点P(a,b)在椭圆上,试求椭圆C的长轴长的取值范围。 分析:本题涉及的知识点有4个:圆锥曲线的标准方程,离心率,根的分布,线性规划。关键是解题入口不能钻入求导误区。思想中隐含方程与函数,分类讨论。本题体现学科内综合,彰显知识迁移,凸显思想方法。 解析:第(1)问 (I)信息的收集:①三次方程有三个实根;②其中一个实根可作为抛物线的离心率;③另二个实根可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率。 (II)信息的加工:①三个实根为;②;③+) (III)信息的处理:①令;②, ;③令,同时有g(0)>0,g(1)<0得a+b+1>0,2a+b+3<0,④即时信息,建立直角坐标系aob,用线性规划知识可得。 第(2)问 (I)信息的收集:①以坐标轴为对称轴;②短轴长为4;③点P(a,b)在椭圆上;④长轴长的取值范围。 (II)信息的加工:①分两种情况;②由a+b+1=0,2a+b+3=0得A(-2,1);③椭圆C与P(a,b)表示的区域有公共点,点A(-2,1)在椭圆内部。 (III)信息的处理:①点A(-2,1)在椭圆内部,,得m>;②。 |
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