2019高考100题之042(向量4)

       分析：

       由前面的介绍，该题第一反应应该是建系，如果希望圆的方程简单一点，可以以C为原点，如果希望向量AB、AD和AP写起来简单，可以以A为原点，这两个建系方案差不多，我们以A为原点建系如下：

       所以向量AB为(1,0)，向量AD为(0,2)，向量AP为(λ,2μ).

       易得圆C的方程为：(x-1)²+(y-2)²=4/5.

       P为圆C上一点，设P(x,y)，则x=λ，y=2μ.

       欲求λ+μ的最大值，即求z=x+y/2的最大值.

       然后我们一般有三个方法来解决：

       方法一：

       类似线性规划的做法，如下图：

       当直线l:x+y/2-z=0与圆C相切时，z取到最值，由圆心C到直线l的距离为半径，可得z=1或3，所以z的最大值为3.

       或者直接利用圆心到直线l的距离小于或等于半径解出1≤z≤3.

       方法二：

       将直线l:x+y/2-z=0与圆C联立，得到二次方程，由判别式不小于零，解得1≤z≤3.

       对这道题来说，这个方法太麻烦了.

       方法三：

       三角换元，或者说就是圆的参数方程：

       圆C上一点P(x,y)满足x=1+2cosθ/√5，y=2+2sinθ/√5.

       所以x+y/2=2+2cosθ/√5+sinθ/√5=2+sin(θ+ψ)，

       其中(1,2)在角ψ的终边上.

       所以x+y/2的最大值为3.

       那么这题还有好的想法吗？

       我们学过如下结论：

       C为直线AB上一点，O为直线AB外一点，则有：

       如下图：

       A'、B'、C'满足：

       即直线A'B'和AB平行或重合.

       则有：

       即x'+y'=tx+ty=t.

       我们把与AB平行或重合的直线A'B'称为等和线，对其上任意一点C'，向量OC'被基底OA和OB表示，系数和一定为定值.

       针对上题，如下图：

       MN和BD平行且与圆C相切，A,B,M共线，A,D,N共线.

       点A到直线BD的距离与圆的半径相等，所以向量AM等于3倍的向量AB，向量AN等于3倍的向量AD.

       所以P点为E点时，λ+μ取到最小值1；当P点为F点时，λ+μ取到最大值3；当P在直线BD和MN中间时，1<λ+μ<3.