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理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合」={—1，0，1，2}, B = {x\x2^\}f贝丨』3门5= 答:A A. {-1,0,1} B. {0,1} C. {-1,1} D. {0,1,2} 2.若z(l + i) = 2i,贝丨答:D A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i 3.《《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中 学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学 生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 4. (l + 2x2)(l + x)4的展开式中jc3的系数为 A. 12 B. 16 C. 20 5.己知各项均为正数的等比数列丨&}的前4项和为15, A. 16 B. 8 C. 4 6.已知曲线= ^+:dnx在点(l，cre)处的切线方程为少= 2x + 6 ,则 A. a = Q f b = —\ B. a = Q f b = \ C. = b = l D. 0.8 D. 24 则= D. 2 D. a = 7.函数; 2x3 c+2- -在[-6,6]的图像大致为 答：C 答：A 答：C 答：D 答：B A. O 4 O 4 8.如图，点#为正方形仙a)的中心，AECD为正三角形，平面EO)丄平面仙CZ), M是线段ED的中点， 则 A. BM = EN ,且直线BM, 是相交直线 B. BM辛EN，且直线是相交直线 C. BM = EN ’且直线5M, M是异面直线 D. BM羊EN，且直线及M, 是异面直线 9.执行右边的程序框图，如果输入的S为0.01，则输出s的值等于 A. D. 2- 24 丄 '¥ '¥ 丄 10.双曲线 面积为 A. tH 2 答·· B 答·· C 则APFO的 答：A 3V2 2V2 D. 3V2 11.设/Oc)是定义域为R的偶函数，且在(0,+«0单调递减，则 答:C A. /(log3^)>/(2 2)>/(2 C. /(2^)>/(2^)>/(log3i) B. /(log3-)>/(2 3)>/(2 2) D. /(2'5)>/(2'5)>/(log3i) 12.设函数/Oc) = sin(ffl；c + i)(ffl>0),已知/(X)在[0，2ji]有且仅有5个零点·下述四个结论： ①/(x)在(0，2jc)有且仅有3个极大值点 ②/(>)在(0,2;t)有且仅有2个极小值点 ③/(jc)在(0，5)单调递增 其中所有正确结论的编号是 A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知 “，A 为单位向量，且 <1.6 = 0,若 c = 2a-~J^b ,则 cos〈u，c>= ~ . 14.记S„为等差数列{a,,}的前《项和.若a,矣0，a2= 3a,,则^ = 4 . 答：D 15.设F2为椭圆+ = l的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若厶似^；6为等腰三角形，则M 36 20 16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 ABCD-A'B'C'D'挖去四棱锥O-五FG//后所得的几何体，其中0为长方体的 中心，E，F，G, //分别为所在棱的中点，AB = BC = 6cm，4^=4011.30 打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质 量为 118.8 g. / J i. D) / / / / o<-^' L__ 9 c, 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一）必考题：共60分。 17. (12 分） . 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经 过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 频率/组距 0.30 0.20 0.15 0.10 0.05 频率/组距 1 0.20 0.15 0.05 I O 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 百分比 O 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 百分比 甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图 记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(c)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中6的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 解： (1)由已知得 0.70 = fl + 0.20 + 0.15 ,故 a = 0.35 . 办= 1-0.05-0.15-0.70 = 0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2x0.15 + 3x0.20 + 4x0.30 + 5x0.20 + 6x0.10 + 7x0.05 = 4.05 . 乙离子残留百分比的平均值的估计值为 3x0.05 + 4x0.10 +5x0.15 +6x0.35+ 7x0.20 + 8x0.15 = 6.00 . 18. (12 分） Aa-C 的内角J , B , C的对边分别为<7, b，c .已知asin = bsmA . 2 (1)求B ; (2)若为锐角三角形，且c = l,求面积的取值范围. 解： (1)由题设及正弦定理得sin A sin + C = sin B sin A . 2 因为 sin>4 式 0, PJflU sin —-+ — = sinB . 2 A + B + C = 180° ,可得 sin ^ + cos— , Sfecos—= 2sin—cos—. 2 2 2 2 2 因为cos竺*0，故sin兰=丄，因此5 = 60。. 2 2 2 R (2)由题设及（1)知AMC的面积 由正弦定理得C=sin(12()° 二 sinC sinC 2tanC 2 由于 为锐角三角形，故 0°<J<90。，0°<C<90°.由（1)知 j + C = 120。， 所以 30o< C1 <90o，故一< a <2 f 从而—< S/^ABC <—. 2 8 2 因此，厶尤BC面积的取值范围是(#，4). 8 2 19. (12 分） 图1是由矩形ADEB，Rt厶ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB = 1，BE = BF = 2 ’ ZFBC = 60°. 将其沿AB , BC折起使得BE与BF重合，连结DG ,如图2. (1)证明：图2中的几C, G, D四点共面，且平面J5C丄平面SCd (2)求图2中的二面角jS-CG-乂的大小. D 解： (1)由己知得 ADIIBE , CGHBE ,所以 ADIICG , E 故CG确定一个平面，从而儿C, G, Z)四点共面. 由已知得丄5五，AB1BC ,故丄平面 BCGE. 又因为JSc:平面J5C，所以平面/(5C丄平面 (2)作份/丄flC,垂足为因为五//c平面50^ ,平面5«?五丄平面 ABC ,所以丄平面JSC. 由已知，菱形5«7£的边长为2, ZEBC = 60°,可求得5// = l, EH =忑. 以//为坐标原点，瓦己的方向为X轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系H -xyz ,则 1,1,0), C(1,0,0), G(2,0, V3), CG = (1,0, , AC = (2,-1,0). 设平面XCGD的法向量为《 = (:<, y，z)，则 |CG ■« = 0,即 j;c + VJz = 0， ]AC n = 0, [2x—y = 0. 所以可取m = (3, 6, - V3). 又平面BCGE的法向量可取为m =(0,1,0),所以cos (n,m) 丨《丨丨,《1 2 因此二面角B-CG-A的大小为30° . 20. (12 分） 已知函数 /Cc) = 2x3-ox2+&. (1)讨论/(;c)的单调性； (2)是否存在a, b,使得/(jc)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在，求出a，6的所有值； 若不存在，说明理由. 解： (1) f'{x) = 6a:2 -2ax = 2x(3x-a). 令/X*) = 0,得;c = 0 或 jc =量. 若 a>0,则当;ce(~oo,0)U(三，抑）时，/'W>0;当 m(0，兰）时，f'(x)<0.故/(x)在(-oo，0)，（|,+oo) 单调递增，在(0，=)单调递减； 若a = 0, /0)在(-00,+QO)单调递增； 若 fl<0,则当;cS(-oo々U(0，+co)时，/'(x).>0;当 xe(|，0)时，f'(x)<0.故/(x)在(-oo,|) , (0,+co) ♦调递增，在(|，0)单调递减. · (2)满足题设条件的a, 6存在. (i )当a彡0时，由（1)知，/(X)在[0,1]单调递增,所以/(x)在区间[0，1]的最小值为/(0) = 6 , 最大值为/⑴= 2-a + 6 .此时a , 6满足题设条件当且仅当6 = -1 , 2-a + b = \,即a = 0, b = -l. (ii)当a彡3时’由(1)知’ /(X)在[0,1]单调递减,所以/(jc)在区间[0,1]的最大值为/(0)=办， 最小值为/(l) = 2-a + 6.此时a , 6满足题设条件当且仅当2-fl + 6 = -l, b = l ,即a = 4，6 = 1. (iii)当0<a<3时，由（1)知，/(x)在[0，1]的最小值为/(|) = -g + 6 ,最大值为6或2-a + &. 若-^1 + 6 = -1，b = \ ,则a = 3於，与0<a<3矛盾. 27 g-—+ 6 = -1 , 2-a + b = \,贝lJa = 3V^ 或a = _3VI 或 a = 0 ,与 0<a<3 矛盾. 27 综上，当且仅当a = 0, 6 = -1或a = 4, 6 = 1时，/⑷在[0,1]的最小值为-1 ,最大值为1 · 21. (12 分） 已知曲线C: y = D为直线y = _丄上的动点，过£>作.C■的两条切线，切点分别为B 2 2 (1)证明：直线/(S过定点； (2)若以£XO，i)为圆心的圆与直线灿相切，且切点为线段的中点，求四边形ADAE的面积. 解： (1)设£)(<，」)，Aix^yJ ,则尤卜之只. 由于/ = 所以切线A4的斜率为巧，故 整理得2%-2乃+1 = 0. 设万02，少2)，同理可得2找2-2_y2+1 = 0 ■ 故直线AB的方程为2找-2_y + l = 0. 所以直线AB过定点(0，1). 少1 + 一 1 2 : x「t z tx X2 可得 x2 - 2tx — 1 = 0, 于是七+七二之,，xxx2 =-1, yt + y2 = Kx\ + x2)+i = 2t2 + \, | AB \= yjl + t2 \x{-x21= \l\ + t2 x+x2)2 -4平2 = 2(t2 +1), 设rf,，d2分别为点D’ E到直线AB的距离，则必=V^+1，d2 ■■ 因此，四边形ADBE的面积51 =丄丨(彳+ c/2) = {t2 + 3)4?7~l . + 1 设M为线段WS的中点，则M(M2+y). 由于疏丄ZS,而M? = (Z,P-2), 与向量(1,0平行，所以f + 02-2)r 当？ = 0 时，5 = 3；当 < = ±1 时，5 = 472 . 因此，四边形IDAE■的面积为3或4力. 解得/ = 0或（ = ±1. (二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分） 如图，在极坐标系仍中，J(2,0), 5(V2,-) , C(V2,—), D(2,n),弧BC , SB所在圆的圆心分别 是(1，0), (1,|) , (l,7i),曲线是弧55，曲线M2是弧記，’曲线M3是弧SB. (1)分别写出M,, M2, M3的极坐标方程； (2)曲线从由蝴， ,构成，若点尸在M上，且|0户|=71，求尸的极坐标. m： (1)由题设可得，弧3^, BC > S5所在圆的极坐标方程分别为p = 2cos<9, p = 2sin/9,广= -2cosi9. 所以軋的极坐标方程为/? = 2cos沒（0彡6X|),从2的极坐标方程为广=2咖沒（|彡6^¥), M3的极坐 标方程为/? = -2cos<9 (2)设POc^)，由题设及⑴知 若(X ,贝I] 2cos沒=W ,解得汐=—; 4 6 若贝丨J 2sin汐,解得汐=—或汐=—; 4 4 3 3 若土则-2cos沒= V^,解得沒=~^. 4 6 综上，p的极坐标为<M，或(扎或(扎或(A . 6 3 3 6 23.[选修4一5:不等式选讲](10分） 设;c , y , zeR . Kx + y + z = l. (1)求(;c —l)2+(y + l)2+(z + l)2 的最小值； (2)若(尤一2)2 + (少一l)2+(z — a)2>|成立,证明:a彡-3或C-1. 解： (1)由于 [(x-\) + (y + \) + (z + \)]2 = (x-1)2 +(y +1)2 +(z +1)2 + 2[(x 一 l)(_y +1) + (_y + l)(z + \) + (z +1)0 一 1)] <3[(:c-1)2+0； + 1)2+(z + 1)2]， 故由已知得(x-1)2 +(y +1)2 + (z +1)2 ^~ ,当且仅当x = ^ , y = ~\ f z = 时等号成立. 所以Oc-1)2 +(y +1)2 +(z +1)2的最小值为备. (2)由于 [{x-2) + {y-\) + {z-a)]2 = (x-If +(y-1)2 + (z-a)2 + 2[(x — 2)0 -1) + (_y - l)(z - a) + (z - d){x - 2)] ^3[(x-2)2 +(y-1)2 +(z-a)2], 故由已知得0«：-2)2+0；-1)2+(2-425=^^,当且仅当;c=¥，y=XjY' 时等号成立. 因此(x-2)2 + (y -1)2 +(z-af 的最小值为 · 由题设知·彡i,解得0<-3或0彡-1. 3 3 原文请私聊 |
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来自： 当以读书通世事 > 《073-数学（大中小学）》
