2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

2016年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x²＜2，x∈Z}，则（ ）

A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N

【考点】集合的包含关系判断及应用．

【分析】N={x|x²＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．

【解答】解：N={x|x²＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，

故M∩N={0}，

故选：C．

2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（ ）

A． B．1 C． D．2

【考点】复数求模．

【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．

【解答】解：z====，

∴|z|=1，

故选：B．

3．已知cos（﹣θ）=，则sin（）的值是（ ）

A． B． C．﹣ D．﹣

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．

【解答】解：cos（﹣θ）=sin[﹣（﹣θ）]=sin（）=，

故选：A．

4．已知随机变量x服从正态分布N（3，σ²），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（ ）

A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．

【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，

∴P（x＞4）=1﹣0.84=0.16

∴P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，

∴P（2＜x＜4）=P（x≤4）﹣P（x＜2）=0.84﹣0.16=0.68

故选B．

5．不等式组的解集记为D，若（a，b）∈D，则z=2a﹣3b的最小值是（ ）

A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4

【考点】简单线性规划．

【分析】由题意作平面区域，从而可得当a=﹣2，b=0时有最小值，从而求得．

【解答】解：由题意作平面区域如下，

，

结合图象可知，

当a=﹣2，b=0，即过点A时，

z=2a﹣3b有最小值为﹣4，

故选：A．

6．使（x²+）ⁿ（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】二项式定理的应用．

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出n与r的关系值，即可求得n的最小值．

【解答】解：（x²+）ⁿ（n∈N）展开式的通项公式为T_r+1=··x^2n﹣5r，

令2n﹣5r=0，求得2n=5r，可得含有常数项的n的最小值是5，

故选：C．

7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（ ）

A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z） B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）

C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由题意和函数的对称性待定系数可得函数解析式，可得单调递减区间．

【解答】解：由题意可得sin（2×+φ）=0，故2×+φ=kπ，

解得φ=kπ﹣，k∈Z，由0＜φ＜可得φ=，

∴f（x）=sin（2x+），

由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，

∴函数f（x）的单凋递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

故选：D．

8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（ ）

A．π B．π C．π D．π

【考点】球的体积和表面积．

【分析】利用余弦定理求出BC的长，进而由正弦定理求出平面ABC截球所得圆的半径，结合球心距，求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．

【解答】解：在△ABC中，

∵AB=AC=2，∠BAC=120°，

∴BC==2，

由正弦定理可得平面ABC截球所得圆的半径（即△ABC的外接圆半径），

r==2，

又∵球心到平面ABC的距离d=R，

∴球O的半径R=，

∴R²=

故球O的表面积S=4πR²=π，

故选：D．

9．已知命题p：?x∈N^*，（）^x≥（）^x，命题q：?x∈N^*，2^x+2^1﹣x=2，则下列命题中为真命题的是（ ）

A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）

【考点】复合命题的真假．

【分析】命题p：利用指数函数的性质可得：是真命题；命题q：由2^x+2^1﹣x=2，化为：（2^x）²﹣2·2^x+2=0，解得2^x=，∴x=，即可判断出真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

【解答】解：命题p：?x∈N^*，（）^x≥（）^x，利用指数函数的性质可得：是真命题；

命题q：由2^x+2^1﹣x=2，化为：（2^x）²﹣2·2^x+2=0，解得2^x=，∴x=，因此q是假命题．

则下列命题中为真命题的是P∧（￢q），

故选：C．

10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A．4+6π B．8+6π C．4+12π D．8+12π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据三视图知几何体是组合体：下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，并求出圆柱的底面半径、母线，四棱锥的高和底面边长，代入体积公式求值即可．

【解答】解：根据三视图知几何体是组合体，

下面是半个圆柱、上面是一个以圆柱轴截面为底的四棱锥，

圆柱的底面半径为2，母线长为3；四棱锥的高是2，底面是边长为4、3的矩形，

∴该几何体的体积V==6π+8，

故选：B．

11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x²﹣y²=λ（λ为正常数）上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为（ ）

A． B． C．λ D．无法确定

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设M（m，n），即有m²﹣n²=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．

【解答】解：设M（m，n），即有m²﹣n²=λ，

双曲线的渐近线为y=±x，

可得|MN|=，

由勾股定理可得|ON|=

==，

可得|ON|·|MN|=·==．

故选：B．

12．设函数f（x）的定义域为R，f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=x³．则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间[﹣，]上的所有零点的和为（ ）

A．7 B．6 C．3 D．2

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】根据f（x）的对称性和奇偶性可知f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，x=0，x=1，x=2，根据三角函数的对称性可知y=|cos（πx）|也关于x=0，x=1，x=2对称，故而g（x）在[﹣，]上3条对称轴，根据f（x）和y=|cos（πx）|在[0，1]上的函数图象，判断g（x）在[﹣，]上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点之和．

【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，

∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，

∵f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），∴f（x）=f（x+2），

∴f（x）是以2为周期的函数，

∴f（x）在[﹣，]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，

又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，

∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴．

作出y=|cos（πx）|和y=x³在[0，1]上的函数图象如图所示：

由图象可知g（x）在（0，）和（，1）上各有1个零点．

∴g（x）在[﹣，]上共有6个零点，

设这6个零点从小到大依次为x₁，x₂，x₃，…x₆，

则x₁，x₂关于x=0对称，x₃，x₄关于x=1对称，x₅，x₆关于x=2对称．

∴x₁+x₂=0，x+x₄=2，x₅+x₆=4，

∴x₁+x₂+x+x₄+x₅+x₆=6．

故选：B．

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为 y=x+4 ．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．

【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣+3，

则f′（1）=﹣2+3=1，即切线斜率k=1，

∵f（1）=2+3=5，∴切点坐标为（1，5），

则切线方程为y﹣5=x﹣1，即y=x+4，

故答案为：y=x+4

14．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|﹣2|=2．则||= 2 ．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】对|﹣2|=2两边平方得出关于||的方程，即可解出．

【解答】解：||=2， =||||cos=||，

∵|﹣2|=2，∴（）²=，

即4||²﹣4||+4=12，解得||=2．

故答案为：2．

15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为 +=1 ．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得c=1，即a²﹣b²=1，

设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），

可得=﹣2，且n=·，

解得m=，n=，即对称点为（，）．

代入椭圆方程可得+=1，

解得a²=，b²=，

可得椭圆的方程为+=1．

故答案为： +=1．

16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2﹣cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为 ．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】使用半角公式化简条件式，利用正弦定理得出a，b，c的关系，使用海伦公式和基本不等式得出面积的最大值．

【解答】解：在△ABC中，∵（2﹣cosA）tan=sinA，∴（2﹣cosA）=sinA，

即2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sinC，

∴2b=a+c=4，∴b=2．

∵a+c=4，∴a=4﹣c．

∴S==

∵（3﹣c）（c﹣1）≤=1，

∴S≤．

故答案为：．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3（n∈N）

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）令b_n=（2n﹣1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；

（II）利用“错位相减法”与等比数列的其前n项和公式即可得出．

【解答】解：（I）∵a_n+1=2S_n+3，∴当n≥2时，a_n=2S_n﹣1+3，

∴a_n+1﹣a_n=2（S_n﹣S_n﹣1）=2a_n，化为a_n+1=3a_n．

∴数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为3．

∴a_n=3ⁿ．

（II）b_n=（2n﹣1）a_n=（2n﹣1）·3ⁿ，

∴数列{b_n}的前n项和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n﹣1）·3ⁿ，

3T_n=3²+3×3³+…+（2n﹣3）·3ⁿ+（2n﹣1）·3ⁿ⁺¹，

∴﹣2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）﹣（2n﹣1）·3ⁿ⁺¹=﹣3﹣（2n﹣1）·3ⁿ⁺¹=（2﹣2n）·3ⁿ⁺¹﹣6，

∴T_n=（n﹣1）·3ⁿ⁺¹+3．

18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．

（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：

学生序号i	1	2	3	4	5	6	7
数学成绩xi	60	65	70	75	85	87	90
物理成绩yi	70	77	80	85	90	86	93

（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；

若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．

76	83	812	526

【考点】离散型随机变量的期望与方差；线性回归方程；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．

（Ⅱ）（i）ξ的取值为0，1，2，3，计算出相应的概率，即可得ξ的分布列和数学期望．

（ii）根据条件求出线性回归方程，进行求解即可．

【解答】（Ⅰ）解：依据分层抽样的方法，24名女同学中应抽取的人数为名，

18名男同学中应抽取的人数为18=3名，

故不同的样本的个数为．

（Ⅱ） （ⅰ）解：∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名，

∴ξ的取值为0，1，2，3．

∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，

∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P

Eξ=0×+1×+2×+3×=．

（ⅱ）解：∵b=0.65，a==83﹣0.65×75=33.60．

∴线性回归方程为=0.65x+33.60

当x=96时， =0.65×96+33.60=96．

可预测该同学的物理成绩为96分．

19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥AM；

（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（I）取CD的中点O，连接OB，OM，则可证OM∥AB，由CD⊥OM，CD⊥OB得出CD⊥平面ABOM，于是CD⊥AM；

（II）以O为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BDM的法向量，则直线AM与平面BDM所成角的正弦值为|cos＜＞|．

【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点O，连接OB，OM．

∵△BCD是等边三角形，

∴OB⊥CD．

∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，

∴OM⊥CD．

∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM?平面CMD，

∴OM⊥平面BCD．

又∵AB⊥平面BCD，

∴OM∥AB．

∴O，M，A，B四点共面．

∵OB∩OM=O，OB?平面OMAB，OM?平面OMAB，

∴CD⊥平面OMAB．∵AM?平面OMAB，

∴CD⊥AM．

（Ⅱ）作MN⊥AB，垂足为N，则MN=OB．

∵△BCD是等边三角形，BC=2，

∴，CD=2．

在Rt△ANM中，．

∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，

∴．

∴AB=AN+NB=AN+OM=2．

以点O为坐标原点，以OC，BO，OM为坐标轴轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则M（0，0，1），，D（﹣1，0，0），．

∴，，．

设平面BDM的法向量为=（x，y，z），

由n·，n·，∴，

令y=1，得=．

设直线AM与平面BDM所成角为θ，

则==．

∴直线AM与平面BDM所成角的正弦值为．

20．已知点F（1，0），点A是直线l₁：x=﹣1上的动点，过A作直线l₂，l₁⊥l₂，线段AF的垂直平分线与l₂交于点P．

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若点M，N是直线l₁上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l₁的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l₁：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．

（Ⅱ）设P（x₀，y₀），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y₀﹣m）x﹣（x₀+1）y+（y₀﹣m）+m（x₀+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x²+y²=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x₀＞1，得（x₀﹣1）m²+2y₀m﹣（x₀+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l₁：x=﹣1上的动点，过A作直线l₂，l₁⊥l₂，线段AF的垂直平分线与l₂交于点P，

∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l₁的距离，

∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l₁：x=﹣1为准线的抛物线，

∴曲线C的方程为y²=4x．

（Ⅱ）设P（x₀，y₀），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），

直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），

化简，得（y₀﹣m）x﹣（x₀+1）y+（y₀﹣m）+m（x₀+1）=0，

∵△PMN的内切圆的方程为x²+y²=1，

∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，

∴=，

由题意得x₀＞1，∴上式化简，得（x₀﹣1）m²+2y₀m﹣（x₀+1）=0，

同理，有，

∴m，n是关于t的方程（x₀﹣1）t²+2yt﹣（x₀+1）=0的两根，

∴m+n=，mn=，

∴|MN|=|m﹣n|==，

∵，|y₀|=2，

∴|MN|==2，

直线PF的斜率，则k=||=，

∴==，

∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，

∴，

∴，

∴0＜＜．

∴的取值范围是（0，）．

21．已知函数f（x）=e^﹣x﹣ax（x∈R）．

（Ⅰ） 当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；

（Ⅱ） 若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；

（Ⅱ）得到e^x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）令g（x）=e^x+ax+ln（x+1）﹣1，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可；

（Ⅲ）令a=2，得到，从而证出结论．

【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e^﹣x+x，

则．…1分

令f'（x）=0，得x=0．

当x＜0时，f'（x）＜0； 当x＞0时，f'（x）＞0．…2分

∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．

∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1．…3分

（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，

即e^x+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）

令g（x）=e^x+ax+ln（x+1）﹣1，

则．

①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e^﹣x+x≥1，即e^﹣x≥1﹣x，故e^x≥1+x．

∴．…4分

∴函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增．

∴g（x）≥g（0）=0．

∴（*）式成立．…5分

②若a＜﹣2，令，

则．

∴函数φ（x）在区间[0，+∞）上单调递增．

由于φ（0）=2+a＜0，

．…6分

故?x₀∈（0，﹣a），使得φ（x₀）=0．…7分

则当0＜x＜x₀时，φ（x）＜φ（x₀）=0，即g'（x）＜0．

∴函数g（x）在区间（0，x₀）上单调递减．

∴g（x₀）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分

综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．…9分

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，

g（x）=e^x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．

则，即．…10分

∴．…11分

∴，即．…12分．

四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．

（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；

（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．

【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．

【分析】（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；

（Ⅱ）由割线定理：EC·EB=ED·EA，且AE=9，得，利用勾股定理求CF的长．

【解答】（Ⅰ）证明：连接OC，AC，

∵BC=CD，

∴∠CAB=∠CAD．…1分

∵AB是圆O的直径，

∴OC=OA．

∴∠CAB=∠ACO．…2分

∴∠CAD=∠ACO．

∴AE∥OC．…3分

∵CF⊥AE，

∴CF⊥OC．…4分

∴CF是圆O的切线．…5分

（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．

∵∠CAB=∠CAD，

∴点C为BE的中点．

∴BC=CE=CD=4．…6分

由割线定理：EC·EB=ED·EA，且AE=9．…7分

得．…8分

在△CDE中，CD=CE，CF⊥DE，则F为DE的中点．

∴．…9分

在Rt△CFD中，．…10分

∴CF的长为．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+=．

（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（θ为参数）利用cos²θ+sin²θ=1可得曲线C的直角坐标方程．由ρsin（θ+=，得，

（II）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．

解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，与椭圆方程联立消去y得4x²﹣6mx+3m²﹣3=0，令△=0，解得m即可得出．

【解答】解：（Ⅰ）解：由曲线C的参数方程为（θ为参数）可得，

∴曲线C的直角坐标方程为．

由ρsin（θ+=，得，

化简得，ρsinθ+ρcosθ=2，

∴x+y=2．

∴直线l的直角坐标方程为x+y=2．

（Ⅱ）解法1：由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为，

点Q到直线l的距离为=．

当时，．

∴点Q到直线l的距离的最大值为．

解法2：设与直线l平行的直线l'的方程为x+y=m，

由，消去y得4x²﹣6mx+3m²﹣3=0，

令△=（6m）²﹣4×4×（3m²﹣3）=0，

解得m=±2．

∴直线l'的方程为x+y=﹣2，即x+y+2=0．

∴两条平行直线l与l'之间的距离为．

∴点Q到直线l的距离的最大值为．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x﹣2|﹣a）．

（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．

【考点】对数函数的图象与性质；其他不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）a=7时便可得出x满足：|x+1|+|x﹣2|＞7，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，求并集即可得出函数f（x）的定义域；

（Ⅱ）由f（x）≥3即可得出|x+1|+|x﹣2|≥a+8恒成立，而可求出|x+1|+|x﹣2|≥3，这样便可得出3≥a+8，解出该不等式即可得出实数a的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7；

①当x＞2时，得x+1+x﹣2＞7，解得x＞4；

②当1≤x≤2时，得x+1+2﹣x＞7，无解；

③当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞7，解得x＜﹣3；

∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；

（Ⅱ）解：不等式f（x）≥3，即|x+1|+|x﹣2|≥a+8；

∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3；

又不等式|x+1|+|x﹣2|≥a+8解集是R；

∴a+8≤3，即a≤﹣5；

∴a的最大值为﹣5．

2016年10月6日