2015年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.为虚数单位，

A．               B．                C．                D．1

【答案】.

【解析】

试题分析：因为，所以应选.                                                             

考点：1、复数的四则运算；

2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（   ）

A．134石   B．169石   C．338石   D．1365石

【答案】.

考点：1、简单的随机抽样；

3.命题“，”的否定是

A．，                B．，

C．，                    D．，

【答案】.

【解析】

试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，，故应选.

考点：1、特称命题；2、全称命题；

4.已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是

    A．与负相关，与负相关               B．与正相关，与正相关

    C．与正相关，与负相关               D．与负相关，与正相关

【答案】.

【解析】

试题分析：因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设，则将代入即可得到：，所以，所以与负相关，综上可知，应选.

考点：1、线性回归方程；

5.表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件               

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件                         

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】.

考点：1、充分条件；2、必要条件；

6.函数的定义域为

A．                                               B．        

C．                                       D．

【答案】.

【解析】

试题分析：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选.

考点：1、函数的定义域求法；

7.设，定义符号函数 则

A．                                        B．     

C．                                          D．

【答案】.

考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；

8.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”

    的概率，则

A．                                           B．        

C．                                            D．

【答案】.

【解析】

试题分析：由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率，其中，，所以，故应选.

考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；

9.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位 

    长度，得到离心率为的双曲线，则

    A．对任意的，                      B．当时，；当时，

    C．对任意的，                       D．当时，；当时，

【答案】.

考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；

10.已知集合，，定义集合

    ，则中元素的个数为

    A．77                  B．49                  C．45                    D．30

【答案】.

【解析】

试题分析：由题意知，，，所以由新定义集合可知，或.当时，，，所以此时中元素的个数有：个；当时，，，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，即此时有，由分类计数原理知，中元素的个数为个，故应选.

考点：1、分类计数原理；2、新定义；

 

第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）

二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）

11.已知向量，，则_________．

【答案】.

考点：1、平面向量的数量积的应用；

12.若变量满足约束条件 则的最大值是_________．

【答案】.

【解析】

试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数过点取得最大值，即，故应填.

考点：1、简单的线性规划问题；

13.函数的零点个数为_________.

【答案】.

【解析】

试题分析：函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点.

考点：1、函数与方程；2、函数图像；

14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额

   （单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.

   （Ⅰ）直方图中的_________；

   （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.

考点：1、频率分布直方图；

15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北

的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度

_________m.

【答案】.

考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；

16.如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且.

   （Ⅰ）圆的标准方程为_________；

   （Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半

径.又因为，所以，即，所以圆的标准方程为，

令得：.设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：

，解之得.即圆在点处的切线方程为，于是令可得

，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和.

考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；

17.a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_________时，的值最小.

【答案】.

②：：，

③：：

④：：，

综上，当时，取到最小值

 

考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；

三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

18.（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象

时，列表并填入了部分数据，如下表：

	0
	0	5			0

   （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解

         析式；

   （Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求

         的图象离原点最近的对称中心.

【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：

且函数表达式为；（Ⅱ）离原点最近的对称中心为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据已知表格中的数据可得方程组，解之可得函数的表达式，进而可补全其表格即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）并结合函数图像平移的性质可得，函数的表达式，进而求出其图像的对称中心坐标，取出其距离原点最近的对称中心即可.

试题解析：（Ⅰ）根据表中已知数据可得：，，，解得. 数据补全如下表：

 

 

 

且函数表达式为.                                      

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因此 .因为的对称中心为，. 令，解得，.即图象的对称中心为，，其中离原点最近的对称中心为. 

考点：1、函数的图像及其性质；2、三角函数的图像及其性质；

19.（本小题满分12分）

设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，

．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和．

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知可列出方程组，解之得即可得出所求的结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，于是，易发现：的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.

试题解析：（Ⅰ）由题意有， 即，解得 或 

故或.           

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，          ①

.         ②

①-②可得

，

故.           

考点：1、等差数列；2、等比数列；3、错位相减法；

20.（本小题满分13分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的

中点，连接.

（Ⅰ）证明：平面. 试判断四面体是

否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需

写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的

体积为，求的值．

【答案】（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线面垂直的判定定理知平面，进而由线面垂直的性质定理可得；在中，易得，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由平面，平面，进一步可得四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出，即可得出所求结果.

试题解析：（Ⅰ）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是

（Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以；由（Ⅰ）知，是鳖臑的高， ，所以.在△中，因为，点是的中点，所以，于是

考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面垂直的性质定理；3、简单几何体的体积；

21.（本小题满分14分）

设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，

，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求，的解析式，并证明：当时，，；

（Ⅱ）设，，证明：当时，.

【答案】（Ⅰ），.证明：当时，，，故   

又由基本不等式，有，即 （Ⅱ）由（Ⅰ）得

⑤⑥

当时，等价于 ⑦ 等价于

 ⑧于是设函数 ，由⑤⑥，有

 当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）将等式中用来替换，并结合已知是奇函数，是偶函数可得

于是联立方程组即可求出的表达式；当时，由指数与指数函数的性质知，，进而可得到然后再由基本不等式即可得出（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.于是要证明，即证，也就是证明，即证于是构造函数，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.

试题解析：（Ⅰ）由, 的奇偶性及,①得：    ②

联立①②解得，.

当时，，，故                           ③

又由基本不等式，有，即          ④   

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，        ⑤

                ，        ⑥

当时，等价于，        ⑦

               等价于           ⑧

设函数 ，由⑤⑥，有 

当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得 .

考点：1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2、函数的基本性质；

22.（本小题满分14分）

一种画椭圆的工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链

与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，，即，这表明椭圆的长半轴长为，短半轴长为，即可求出椭圆的方程；

（Ⅱ）首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为或，即可求出的面积的值；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，然后根据题意直线总与椭圆有且只有一个公共点知，即可得到.再分别联立直线与直线和可解得点和点的坐标，并根据原点到直线的距离公式可求得，于是的面积可表示为消去参数可得，于是分两种情况进行讨论：①当时；②当时，分别求出的面积的最小值，并比较即可求出的面积取得最小值.

试题解析：（Ⅰ）因为，当在x轴上时，等号成立；同理

，当重合，即轴时，等号成立. 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

（2）当直线的斜率存在时，设直线， 由  消去，可得

.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以

，即.           ①

又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得

.    ②

将①代入②得，. 当时，；当时，.因，则，，所以

，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交综合问题；