高三二轮专题复习:平面向量
【高考要求】 1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。 3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共线的充要条件。 4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。 6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式。
【热点分析】 对本章内容的考查主要分以下三类: 1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题. 2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强,难度大,以解析几何中的常规题为主. 3、向量在空间中的应用(在B类教材中)。在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质. 在复习过程中,抓住源于课本,高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本.因此,掌握双基、精通课本是本章关键。分析近几年来的高考试题,有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容,作为学习解析几何的基本工具,在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形,它是考查的重点。总而言之,平面向量这一章的学习应立足基础,强化运算,重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。
【典型例题】 例1. 已知 【解析】设 2x+y=4;又由 于是有: 由(1)+2 ∴
例2. 已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求 【解析】设点D的坐标为(x,y) ∵AD是边BC上的高, ∴AD⊥BC,∴ 又∵C、B、D三点共线, ∴ 又
∴ 解方程组,得x= ∴点D的坐标为(
例3. 设向量 【解析】∵| ∴可设 ∵ 由(1)得:cosα=1-cosβ……(3) 由(2)得:sinα=-sinβ……(4) ∴cosα=1-cosβ= ∴sinα=±
例4. 对于向量的集合A={ 【证明】设 根据已知条件有:x21+y21≤1,x22+y22≤1 又因为|α = 其中x1x2+y1y2≤ 所以|α
例5. 已知A(0,a),B(0,b),(0<a<b=,在x轴的正半轴上求点C,使∠ACB最大,并求出其最大值。 【解析】设C(x,0)(x>0) 则 则 cos∠ACB= 令t=x2+ab 故cos∠ACB= 当 当C的坐标为(
例6. 已知 ①求 ②当k为何实数时,k 【解析】① ②k 设k ∴ 故k=
例7. 是否存在4个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直? 【解析】如图所示,在正△ABC中,O为其内心,P为圆周上一点, 满足 ( =( =(2 =(2 = 4 有( 同理可证其他情况,从而
例8. 已知向量 【解析】令O为坐标原点,可设 由
![]() 两式平方和为 由此可知 同理可得 这说明 所以
例9. 求 【解析】原函数可变为 所以只须求 构造 那么 故
例10. 三角形ABC中,A(5,-1)、B(-1,7)、C(1,2),求:(1)BC边上的中线 AM的长;(2)∠CAB的平分线AD的长;(3)cosABC的值. 【解析】 (1)点M的坐标为xM= D点分 ∴xD= (3)∠ABC是
例11. 设函数f (x)= 【解析】 (1)依题设,f(x)=(2cosx,1)·(cosx, 由1+2sin(2x+ ∵- (2)函数y=2sin2x的图象按向量 由(1)得f (x)=
例12. 设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心,A(0,2),B(0,-2)且 【解析】(I)由已知得 ∵CH=HA ∴ (II)设直线L的方程为y=k(x-2),代入曲线E得(3k2+1)x2-12k2x+12(k2-1)=0 设N (x1,y1),M (x2,y2),则x1 +x2= ∵ 若四边形OMPN是矩形,则 ∴x1 x2+y1 y2=0 ∴ ∴直线L为:
例13. 已知椭圆方程 【解析】设l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程整理得 (4k2+1)x2+8k2x+4(k2-1)=0. 设C(x1,y2),D(x2,y2),则x1+x2=- 由 所以 得
例14. 已知点G是△ABC的重心,A(0, -1),B(0, 1),在x轴上有一点M,满足| ⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P,Q,且满足| 【解析】 ⑴设C(x, y),则G( 又M是x轴上一点,则M( ∴ ⑵①当k=0时,l和椭圆C有两不同交点P,Q,根据椭圆对称性有| ②当k≠0时,可设l的方程为y=kx+m, 联立方程组 ∵直线l和椭圆C交于不同两点, ∴△=(6km)2-4(1+3k2)×( m2-1)>0,即1+3k2-m2>0. (1) 设P(x1, y1),Q(x2, y2),则x1, x2是方程(*)的两相异实根,∴x1+x2=- 则PQ的中点N(x0, y0)的坐标是x0= 即N(- 又| 将m= 即k2<1,∴k∈(-1, 0)∪(0, 1). 综合①②得,k的取值范围是(-1, 1).
【模拟试题】 1. 已知向量 A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知点M1(6,2)和M2(1,7),直线y=mx-7与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3:2,则m的值为 ( ) A. 3. 已知向量 A. [0, 4. 设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则 A. 5. 已知向量 A. C. 6. P是△ABC所在平面上一点,若 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 7. △ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C的度数是: A. 60° B. 45°或135° C. 120° D. 30° 8. 已知向量a=( 9. 把函数y=2x2-4x+5的图像按向量a平移,得到y=2x2的图像,且a⊥b,c=(1,-1),b·c=4,则b= 10. 在 11. 已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-<θ<. (Ⅰ)若a⊥b,求θ;(Ⅱ)求|a+b|的最大值. 12. 如图,已知△ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G,设DMGA=a(
(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为a的函数 (2)求y= 13. 已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点M,并延长MP至点N,且 (2)直线l与动点N的轨迹交于A、B两点,若 14. 已知两点M(-1,0), N(1 , 0),且点P使 (Ⅱ)若点P坐标为(x0、y0),记θ为
【试题答案】 1. C 提示:设
2. D 提示:设交点M(x,y), 3. D 提示:点C的轨迹是以(2,2)为圆心, 4. B 提示:设A(x1,y1),B(x2,y2), 5. C 提示:由| 6. D 提示:由 即 所以P为 7. B 提示:由a4+b4+c4=2c2(a2+b2)得:a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2+2a2b2=2a2b2,即(a2+b2-c2)2=2a2b2 a2+b2-c2= 8. 4 9. (3, -1) 10. -2 提示:
即 11. 解:(Ⅰ)若a⊥b,则sinθ+cosθ=0,由此得 tanθ=-1(-<θ<=,所以 θ=-; (Ⅱ)由a=(sinθ,1),b=(1,cosθ)得|a+b|= ==, 当sin(θ+)=1时,|a+b|取得最大值,即当θ=时,|a+b|最大值为+1. 12. 解:(1)因为G是边长为1的正三角形ABC的中心, 所以 AG= 由正弦定理 则S1= (2)y= =72(3+cot2a)因为 当a= 13. 略解 (1)y2=4x (x>0) (2)先证明l与x轴不垂直,再设l的方程为 y=kx+b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立直线与抛物线方程,得 ky2- 4y+4b=0,由 又 解得直线l的斜率的取值范围是 14. 略解(Ⅰ)设点P(x , y),分别计算出
故点P 的轨迹是以原点为圆心、 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, 又x0 于是sinθ= |
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