平面向量

高三二轮专题复习：平面向量

 

【高考要求】

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

 

【热点分析】

对本章内容的考查主要分以下三类：

1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.

2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.

3、向量在空间中的应用（在B类教材中）。在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键。分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。

 

【典型例题】

例1. 已知=（2,1）, =（－1,3）,若存在向量使得：·=4, ·=－9，试求向量的坐标、

【解析】设=（x,y）,则由·=4可得：

2x+y=4；又由·=－9可得：－x+3y=－9

于是有：  

由（1）+2（2）得7y=－14,∴y=－2,将它代入（1）可得：x=3

∴=（3,－2）、

 

例2. 已知△ABC的顶点分别为A（2，1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求及点D的坐标。

【解析】设点D的坐标为（x,y）

∵AD是边BC上的高，

∴AD⊥BC，∴⊥

又∵C、B、D三点共线，

∴∥

又=（x－2,y－1）, =（－6,－3）

=（x－3,y－2）

∴

解方程组，得x=,y=

∴点D的坐标为（，），的坐标为（－，）

 

例3. 设向量、满足：｜｜＝｜｜=1，且+=（1，0），求，、

【解析】∵｜｜＝｜｜=1，

∴可设=（cosα,sinα）,  =（cosβ,sinβ）、

∵+=（cosα+cosβ,sinα+sinβ）=（1,0），

由（1）得：cosα=1－cosβ……（3）

由（2）得：sinα=－sinβ……（4）

∴cosα=1－cosβ=

∴sinα=±,sinβ=

或

 

例4. 对于向量的集合A={=（x,y）｜x²+y²≤1}中的任意两个向量、与两个非负实数α、β；求证：向量α+β的大小不超过α+β。

【证明】设=（x₁,y₁），=（x₂,y₂）

根据已知条件有：x²₁+y²₁≤1,x²₂+y²₂≤1

又因为｜α+β｜=

=

其中x₁x₂+y₁y₂≤≤1

所以｜α+β｜≤=｜α+β｜=α+β

 

例5. 已知A（0，a）,B（0,b）,（0＜a＜b＝，在x轴的正半轴上求点C，使∠ACB最大，并求出其最大值。

【解析】设C（x,0）（x＞0）

则=（－x,a）, =（－x,b）

则·=x²+ab、

cos∠ACB==

令t=x²+ab

故cos∠ACB=

当=即t=2ab时，cos∠ACB的最大值为；

当C的坐标为（,0）时，∠ACB的最大值为arccos。

 

例6. 已知

①求； 

②当k为何实数时,k与平行, 平行时它们是同向还是反向？

【解析】①= （1,0） + 3（2,1） = （ 7,3） , ∴= =.

②k= k（1,0）－（2,1）=（k－2,－1）.

设k=λ（）,即（k－2,－1）= λ（7,3）,

∴ .

故k= 时, 它们反向平行.

 

例7. 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?

【解析】如图所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，

满足，，，两两不共线，有

（+）·（+）

=（+++）·（++）

=（2++）·（2+）

=（2－）·（2+）

= 4²－²=0

有（+）与（+）垂直，

同理可证其他情况，从而，，，满足题意，故存在这样的4个平面向量。

 

例8. 已知向量满足条件，，求证：是正三角形

【解析】令O为坐标原点，可设

由，即

①

②

两式平方和为，，

由此可知的最小正角为120°，即与的夹角为120°，

同理可得与的夹角为120°，与的夹角为120°，

这说明三点均匀分布在一个单位圆上，

所以为正（等腰）三角形.

 

例9. 求的最值

【解析】原函数可变为，

所以只须求的最值即可，

构造，

那么.

故.

 

例10. 三角形ABC中，A（5，－1）、B（－1，7）、C（1，2），求：（1）BC边上的中线

AM的长；（2）∠CAB的平分线AD的长；（3）cosABC的值.

【解析】 （1）点M的坐标为x_M=

D点分的比为2.

∴x_D=

（3）∠ABC是与的夹角，而=（6，8），=（2，－5）.

 

例11. 设函数f （x）＝，其中向量＝（2cosx , 1）, ＝（cosx,sin2x）, x∈R.（1）若f（x）＝1－且x∈[－，]，求x；（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量＝（m , n） （﹤）平移后得到函数y＝f（x）的图象，求实数m、n的值.

【解析】 （1）依题设，f（x）＝（2cosx，1）·（cosx,sin2x）＝2cos²x＋sin2x＝1＋2sin（2x＋）

由1＋2sin（2x＋）=1－，得sin（2x＋）＝－.

∵－≤x≤, ∴－≤2x＋≤,   ∴2x＋=－, 即x＝－.

（2）函数y＝2sin2x的图象按向量＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2（x－m）+n的图象，即函数y＝f（x）的图象.

由（1）得f （x）＝  ∵＜，   ∴m＝－，n＝1.

 

例12. 设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A（0，2），B（0，－2）且（λ∈R）.（Ⅰ）求点C（x，y）的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点（2，0）作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

【解析】（I）由已知得, 又，∴

∵CH=HA   ∴即

（II）设直线L的方程为y=k（x-2），代入曲线E得（3k²+1）x²-12k²x+12（k²-1）=0

设N （x₁，y₁），M （x₂，y₂），则x₁ +x₂=，x₁ x₂=

∵，∴ 四边形OMPN是平行四边形.

若四边形OMPN是矩形，则

∴x₁ x₂+y₁ y₂=0  ∴得

∴直线L为：

 

例13. 已知椭圆方程，过B（－1，0）的直线l交椭圆于C、D两点，交直线x＝－4于E点，B、E分的比为λ₁、λ₂. 求证：λ₁＋λ₂＝0

【解析】设l的方程为y＝k（x＋1），代入椭圆方程整理得

（4k²＋1）x²＋8k²x＋4（k²－1）＝0.

设C（x₁,y₂）,D（x₂,y₂），则x₁＋x₂＝－.

由得 

所以.同理，设E

得

其中 

.

 

例14. 已知点G是△ABC的重心，A（0, －1），B（0, 1），在x轴上有一点M，满足||=||，（∈R）. ⑴求点C的轨迹方程；

⑵若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同的两点P，Q，且满足||=||，试求k的取值范围.

【解析】 ⑴设C（x, y），则G（,）. ∵（∈R），∴GM//AB,

又M是x轴上一点，则M（, 0）. 又||=||，

∴，整理得，即为曲线C的方程.

⑵①当k=0时，l和椭圆C有两不同交点P，Q，根据椭圆对称性有||=||.

②当k≠0时，可设l的方程为y=kx＋m，

联立方程组   消去y，整理得（1＋3k²）x²＋6kmx＋3（m²－1）=0（*）

∵直线l和椭圆C交于不同两点，

∴△=（6km）²－4（1＋3k²）×（ m²－1）＞0，即1＋3k²－m²＞0.          （1）   

设P（x₁, y₁），Q（x₂, y₂），则x₁, x₂是方程（*）的两相异实根，∴x₁＋x₂=－

则PQ的中点N（x₀, y₀）的坐标是x₀==－，y₀= k x₀＋m=，

即N（－, ），

又||=||，∴⊥，∴k·k_AN=k·=－1，∴m=.

将m=代入（1）式,得 1＋3k²－（）²＞0（k≠0），

即k²＜1，∴k∈（－1, 0）∪（0, 1）.

综合①②得，k的取值范围是（－1, 1）.

 

【模拟试题】

1. 已知向量（    ）

A. 30°                      B. 60°                        C. 120°                     D. 150°

2. 已知点M₁（6，2）和M₂（1，7），直线y=mx－7与线段M₁M₂的交点分有向线段M₁M₂的比为3：2，则m的值为                        （   ）

A.                    B.                        C.                      D. 4

3. 已知向量=（2，0）,向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为  （   ）

A. ［0，］              B. ［，］          C. ［，］         D. ［，］

4. 设坐标原点为O，抛物线y²=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·=（   ）

A.                           B.                 C. 3                D. －3

5. 已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（  ）

A. ⊥                                                       B. ⊥（－）      

C. ⊥（－）                                                 D. （＋）⊥（－）

6. P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（  ）

A. 外心                      B. 内心                      C. 重心                      D. 垂心

7. △ABC中，若a⁴+b⁴+c⁴=2c²（a²+b²），则∠C的度数是：

A. 60°                        B. 45°或135°          C. 120°               D. 30°

8. 已知向量a=（），向量b=（），则|2a－b|的最大值是         

9. 把函数y=2x²－4x＋5的图像按向量a平移，得到y=2x²的图像，且a⊥b，c=（1,－1），b·c=4，则b=            

10. 在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_____.

11. 已知向量a＝（sinθ，1），b＝（1，cosθ），－＜θ＜.

（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值.

12. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设DMGA＝a（）

 

（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S₁与S₂）表示为a的函数

（2）求y＝的最大值与最小值

13. 已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP至点N，且.（1）求动点N的轨迹方程；

（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且4≤≤，求直线l的斜率的取值范围.

14. 已知两点M（－1，0），  N（1 , 0），且点P使·，·，·成公差小于零的等差数列.（Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？

（Ⅱ）若点P坐标为（x₀、y₀），记θ为与的夹角，求tanθ.

 

 

【试题答案】

1. C 提示：设，则，又

，所以，得，，

2. D  提示：设交点M（x,y），，代入直线方程可得.

3. D  提示：点C的轨迹是以（2,2）为圆心，为半径的圆.

4. B  提示：设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），·＝x₁x₂+y₁y₂＝，将直线方程y=k（x－0.5）代入抛物线方程消去x可得y₁y₂.

5. C 提示：由|－t|≥|－|得|－t|²≥|－|²，展开并整理得,得,即.

6. D 提示：由.

    即， 则

所以P为的垂心.

7. B 提示：由a⁴+b⁴+c⁴=2c²（a²+b²）得：a⁴+b⁴+c⁴－2a²c²-2b²c²+2a²b²=2a²b²,即（a²+b²-c²）²=2a²b²

a²+b²-c²=ab，

8.  4 

9.  （3, －1） 

10. －2 提示：

，当时取等号.

    即的最小值为:-2.

11. 解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，由此得   tanθ＝－1（－＜θ＜＝，所以  θ=-；

（Ⅱ）由a＝（sinθ，1），b＝（1，cosθ）得｜a＋b｜＝

＝＝，

当sin（θ＋）＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1. 

12. 解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以   AG＝，DMAG＝，

由正弦定理，得

则S₁＝GM·GA·sina＝    同理可求得S₂＝

（2）y＝＝

＝72（3＋cot²a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值y_max＝240

当a＝时，y取得最小值y_min＝216

13. 略解 （1）y²＝4x   （x＞0）     （2）先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为

y＝kx＋b（k≠0）,A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）.联立直线与抛物线方程，得

ky²－ 4y＋4b＝0,由，得.

又  故   而  

解得直线l的斜率的取值范围是

14. 略解（Ⅰ）设点P（x , y），分别计算出·，·，·，

由题意，可得点P的轨迹方程是                   

故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆.              

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，，可得cosθ＝，

又x₀,∴即,

于是sinθ＝＝＝＝，