360教育网平面向量

本讲教育信息】

一. 教学内容：

平面向量

 

二. 考试大纲：

理解平面向量的有关概念、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示、掌握平面向量的数量积；理解平面向量的平行与垂直；了解平面向量的应用。

 

三. 教学重点、难点：

重点：平面向量的数量积。

难点：向量共线定理。

 

四. 基本内容：

1、向量的概念：  

（1）

（2）

（3）

2、向量的运算：

运算	定义 或 法则	运算性质（运算律）	坐标运算
加  法
减  法
实数与向量的积

3、重要的公式定理：

形式	向量式 向量	坐标式
长度	||
共线（平行）	∥或
垂直	若为非零向量，__________
线段定 比分点	若P分所成的比为即则
中点 公式
平面向量基本定理	如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使

 

4、两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫做向量与的        ．当θ＝0°时，与        ；当θ＝180°时，与        ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作         ．

5、两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量__________叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝         ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝（x₁， y₁），＝（x₂， y₂），则·＝         ．

6、向量的数量积的几何意义：

||cosθ叫做向量在方向上的投影 （θ是向量与的夹角）．

·的几何意义是，数量·等于          

7、向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角．

（1）·＝·＝       

（2）⊥       

（3）当与同向时，·＝        ；当与反向时，·＝        ．

（4）cosθ＝        ．

（5）|·|≤       

8、向量数量积的运算律：

（1）·＝        ；

（2）（λ）·＝        ＝·（λ）

（3）（＋）·＝       

 

五. 基础训练：

1、（福建理4文8）对于向量，和实数，下列命题中假命题是 ①③④     

①若，则或    ②  若，则

③ 若，则     ④ 若，则

2、已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//，则＝　6　

3、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝，则＝。

4、已知向量、满足：||＝1，||＝2，|－|＝2，则|＋|＝。

 

【典型例题】

例1. 已知A（－1，－1）B（1，3）C（2，5），求证A、B、C三点共线

证明：设点B′（1，y）是的一个分点，且＝λ，则1＝

解得λ＝2

∴y＝＝3

即点B′与点B重合

∵点B′在上，∴点B在上，

∴A、B、C三点共线

 

例2. 在四边形ABCD中，·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形

分析：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直为此我们将从四边形的边的长度和位置两方面的关系来进行思考

证明：设＝，＝，＝，＝，则

∵＋＋＋＝O

∴＋＝－（＋）

两边平方得

｜｜²＋2·＋｜｜²＝｜｜²＋2·＋｜｜²，

又·＝·

∴｜｜²＋｜｜²＝｜｜²＋｜｜²（1）

同理｜｜²＋｜｜²＝｜｜²＋｜｜²（2）

由（1）（2）得｜｜²＝｜｜²，｜｜²＝｜｜²，

∴＝，＝，

即AB＝CD，BC＝DA

∴四边形ABCD是平行四边形

于是＝－，即＝－，

又·＝·，故·＝·（－）

∴·＝O

∴⊥

∴四边形ABCD为矩形

评述：向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，另一方面又具有一套优良的运算性质，因此，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的运算问题来解决，要注意体会

 

例3. 设坐标平面上有三点A、B、C，，分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝－2，＝＋ｍ，那么是否存在实数ｍ，使A、B、C三点共线

分析：可以假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线∥存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索

解法一：假设满足条件的ｍ存在，由A、B、C三点共线，即∥，

∴存在实数λ，使＝λ，

－2＝λ（＋ｍ），

  ∴ｍ＝－2

∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线

解法二：假设满足条件的ｍ存在，根据题意可知：＝（1，O），＝（O，1）

∴＝（1，O）－2（O，1）＝（1，－2），

＝（1，O）＋ｍ（O，1）＝（1，ｍ），

由A、B、C三点共线，即∥，

故1·ｍ－1·（－2）＝O解得ｍ＝－2

∴当ｍ＝－2时，A、B、C三点共线

评述：（1）共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择

（2）本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时

 

例4. （山东文）在中，角的对边分别为．

（1）求；

（2）若，且，求．

解：（1）

又    解得．

，是锐角．      ．

（2），        ，      ．

又       ．      ．

．   ．

 

例5. （湖北卷）设向量a＝（sinx，cosx），b＝（cosx，cosx），x∈R，函数f（x）＝a·（a＋b）。

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值与最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f（x）≥成立的x的取值集合。

解：（Ⅰ）∵

∴的最大值为，最小正周期是。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

即使成立的的取值集合是。

 

例6. （四川卷）已知是三内角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求tanC

解：本小题主要考查三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考查应用、分析和计算能力。

（Ⅰ）∵∴  即

，

∵  ∴   ∴

（Ⅱ）由题知，整理得

∴∴

∴或

而使，舍去   ∴

∴

 

例7. （湖北卷）设函数，其中向量，，，。

（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。

点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

解：（Ⅰ）由题意得，＝（sinx，－cosx）·（sinx－cosx，sinx－3cosx）

＝sin²x－2sinxcosx+3cos²x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin（2x+）.

所以，f（x）的最大值为2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin（2x+）＝0得2x+＝k，即x＝，k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.

 

例8. 用向量的方法证明：cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．

证明：设角α、β的终边分别与单位圆交于点P₁、P₂，则点P₁、P₂的坐标分别是P₁（cosα，sinα）、P₂（cosβ，sinβ）；

即向量＝（cosα，sinα）；＝（cosβ，sinβ）；

则据向量数量积的定义，有·＝||·||cos（α-β）＝cos（α-β）；

又由向量数量积的坐标运算法则，有·＝cosαcosβ+sinαsinβ；

由此可知，cos（α-β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．

讲评：这里应限制0≤α-β≤180°．

如果已知||＝r（r>0），往往可设＝（rcosα，rsinα）．

 

例9. 设点O为原点，A（2，1），B（4，6），且＝t+（1－t），若点P在（1）x轴上，（2）第一象限的角平分线上，（3）第四象限，试求t的取值．

解：＝t+（1－t）＝t（2，1）+（1－t）（4，6）＝（4－2t，6－5t）．

（1）当点P在x轴上时，6－5t＝0，得t＝；

（2）当点P在第一象限的角平分线上时，4－2t＝6－5t>0，解得t＝;

（3）当点P在第四象限内时，有4－2t>0且6－5t<0，得<t<2．

即当t＝时点P在x轴上；当t＝时点P在第一象限的角平分线上；当<t<2时，点P在第四象限．

讲评：若点P、A、B满足＝λ+μ，且λ+μ＝1时，点P在直线AB上．本题就是求直线AB与x轴相交、与第一象限角平分线相交、直线上的点在第四象限时的t值，

 

【模拟试题】

1、已知︱︱＝1，︱︱＝，＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m+n（m、n∈R），则＝　　　　　　　　

2、已知向量与的夹角为120°，则＝　　　　　　

3、已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则　　　　　　

4、已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则　　　　　　　　　

5、已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是　　　　　　　　　

6、△ABC的三内角所对边的长分别为设向量，，若，则角的大小为　　　　　　　　　

7、设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　

8、已知向量＝（4，2），向量＝（，3），且//，则＝　　　　　　　

9、设向量满足，，则　　　　　　

10、与向量a＝的夹角相等，且模为1的向量是　　　　　　　

11、（安徽卷）在平行四边形ABCD中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）

12、（北京卷）若三点共线，则的值等于__________.

13、（北京卷）若三点A（2，2），B（a，0），C（0，4）共线，则a的值等于           。

14、已知点A（－3，－4）、B（5，－12）

（1）求的坐标及｜｜；

（2）若＝＋，＝－，求及的坐标；

（3）求·

15、在△ABC中，设＝（2，3），＝（1，k）；且⊿ABC是直角三角形，求k的值．

16、已知向量＝（sinθ，1），＝（1，cosθ），－＜θ＜．

（1）若，求θ；

（2）求的最大值．

 

【试题答案】

1、解析：点C在AB上，且＝30°。

设A点坐标为（1，0），B点的坐标为（0，），C点的坐标为（x，y）＝（，），，则∴ m＝，n＝，＝3。

2、解析：向量与的夹角为120°，，，

∴ ，则＝－1（舍去）或＝4，

3、解：设＝（x，y），则有解得x＝，y＝，

∴（）

4、解：由a＋2b与a－2b互相垂直T（a＋2b）·（a－2b）＝0Ta²－4b²＝0

即|a|²＝4|b|²T|a|＝2|b|，故填2。

5、解析：且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ＝≤，∴θ∈，

6、解析：，利用余弦定理可得，即

7、解析：

解得：，因点是线段上的一个动点，所以，即满足条件的实数的取值范围是，

8、解：//T4×3－2x＝0，解得x＝6，

9、解：由T，故

10、解析：与向量的夹角相等，且模为1的向量为（x，y），则，解得或，故填. 或

11、解：，，所以。

12、解：，，依题意，有（a－2）·（b－2）－4＝0，即ab－2a－2b＝0所以＝

13、解：＝（a－2，－2），＝（－2，2），依题意，向量 与共线，故有2（a－2）－4＝0，得a＝4

14、解：（1）＝（8，－8），｜｜＝8

（2）＝（2，－16），＝（－8，8）

（3）·＝33

15、解 （1）若DA＝90°，则⊥，于是 2×1+3×k＝0，解得k＝ -；

  （2）若DB＝90°，则⊥，但＝-＝（-1，k-3），故得2×（-1）+3×（k-3）＝0，解得k＝；

    （3）若DC＝90°，则⊥，故1×（-1）+k（k-3）＝0，解得k＝．

综上可知，k＝ -， ， ．

16、解（1）.  

当＝1时有最大值，此时_，最大值为