【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5-3　平面向量的数量积

§5.3　平面向量的数量积

考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．

知识梳理

1．向量的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

2．平面向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.

3．平面向量数量积的几何意义

设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θe.

4．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5．平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，a与b的夹角为θ.

	几何表示	坐标表示
数量积	a·b＝|a||b|cos θ	a·b＝x1x2＋y1y2
模	|a|＝	|a|＝
夹角	cos θ＝	cos θ＝
a⊥b的充要条件	a·b＝0	x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系	|a·b|≤|a||b|	|x1x2＋y1y2|≤

常用结论

1．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a²－b²；

(2)(a±b)²＝a²±2a·b＋b².

2．有关向量夹角的两个结论

(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.

(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)

(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(　×　)

(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　√　)

(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(　×　)

教材改编题

1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　)

A．1  B.  C．3  D．3

答案　C

解析　由题意可得a·b＝|a|·|b|cos 30°＝2××＝3.

2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

答案　2

3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．

答案　5　

解析　因为a＝(1,2)，b＝(－3,4)，

所以a·b＝－3×1＋2×4＝5，|a|＝＝，|b|＝＝5，

所以cos〈a，b〉＝＝＝.

题型一　平面向量数量积的基本运算

例1　(1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·等于(　　)

A．8  B．－8  C．2  D．－2

答案　D

解析　如图所示，

∵＝，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵＝3，

∴＝＋＝＋，

＝－＝－，

又∵||＝4，||＝3，cosθ＝，

则·＝4×3×＝8，

∴·＝·

＝·－²＋²

＝×8－9＋×4²＝－2.

(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，则·＝________.

答案　22

解析　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

∵AB＝6，＝3，＝2，

∴B(－3,0)，C(3,0)，

M(－2，－3)，

∴＝(－1,3)，

＝(5,3)，

∴·＝－5＋27＝22.

思维升华　计算平面向量数量积的主要方法

(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)利用坐标运算，若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a·b＝x₁x₂＋y₁y₂.

(3)利用基底法求数量积．

(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．

跟踪训练1　(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则·的值为(　　)

A．－2  B．2  C．1  D．4

答案　B

解析　设AC∩BD＝O，则O为AC的中点，且AC⊥BD，如图所示，

由在方向上的投影向量为，

得·＝·＝²＝2.

(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.

答案　12

解析　因为·＝2·，

所以·－·＝·，

所以·＝·.

因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，

所以2||＝||||cos ，

化简得||＝2.

故·＝·(＋)＝||²＋·＝(2)²＋2×2cos ＝12.

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　向量的模

例2　已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|等于(　　)

A．1＋2                                      B.

C.                                    D．3

答案　B

解析　根据向量的运算法则和数量积的定义，

可得|a＋2b|＝＝

＝＝.

命题点2　向量的夹角

例3　若e₁，e₂是夹角为的两个单位向量，则a＝2e₁＋e₂与b＝－3e₁＋2e₂的夹角为(　　)

A.                                                    B.

C.                                                   D.

答案　C

解析　由题意可得e₁·e₂＝1×1×cos ＝，

故a·b＝(2e₁＋e₂)·(－3e₁＋2e₂)

＝－6e＋e₁·e₂＋2e＝－6＋＋2＝－，

|a|＝＝＝，

|b|＝＝＝，

故cos〈a，b〉＝＝＝－，

由于〈a，b〉∈[0，π]，故〈a，b〉＝.

命题点3　向量的垂直

例4　(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.

答案　－

解析　∵a⊥b，∴a·b＝m＋3(m＋1)＝4m＋3＝0，解得m＝－.

思维升华　(1)求平面向量的模的方法

①公式法：利用|a|＝及(a±b)²＝|a|²±2a·b＋|b|²；

②几何法：利用向量的几何意义．

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cos θ＝；

②坐标法．

(3)两个向量垂直的充要条件

a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．

跟踪训练2　(1)(多选)已知e₁，e₂是单位向量，且e₁·e₂＝，若向量a满足e₁·a＝2，则下列选项正确的是(　　)

A．|e₁－e₂|＝1                                     B．e₁在e₂上的投影向量的模为

C．e₁与e₁－e₂的夹角为                   D．a在e₁上的投影向量为2e₁

答案　ABD

解析　因为e₁·e₂＝1×1×cos〈e₁，e₂〉＝，所以e₁，e₂的夹角为，

设＝e₁，＝e₂，则＝e₁－e₂，由此可得△OAB是一个等边三角形，

所以〈e₁，e₁－e₂〉＝，故C错误；

|e₁－e₂|²＝e－2e₁·e₂＋e＝1，故|e₁－e₂|＝1，故A正确；

因为e₁在e₂上的投影向量为e₂＝e₂，所以模为，故B正确；

设e₁与a的夹角为θ，因为e₁·a＝2＝|a|cosθ，

所以a在e₁上的投影向量为(|a|cos θ)e₁＝2e₁，故D正确．

(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于(　　)

A．－6  B．－5  C．5  D．6

答案　C

解析　由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，

所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，

b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.

因为〈a，c〉＝〈b，c〉，

所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，

即＝，

即＝3＋t，解得t＝5，故选C.

题型三　平面向量的实际应用

例5　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F₁，F₂，且|F₁|＝|F₂|，F₁与F₂的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　)

A．|G|＝|F₁|＋|F₂|  B．当θ＝时，|F₁|＝|G|

C．当θ角越大时，用力越省  D．当|F₁|＝|G|时，θ＝

答案　B

解析　根据题意可得G＝F₁＋F₂，

则|G|＝|F₁＋F₂|＝＝＝，

当θ＝0时，|G|＝2|F₁|＝|F₁|＋|F₂|，

当θ＝时，|G|＝＝|F₁|，

即|F₁|＝|G|，故A错误，B正确；

|G|＝，因为y＝cos θ在(0，π)上单调递减，

且行李包所受的重力G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误；

当|F₁|＝|G|时，即|G|＝＝|F₁|，解得cos θ＝－，

又因为θ∈(0，π)，所以θ＝，故D错误．

思维升华　用向量方法解决实际问题的步骤

跟踪训练3　(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v₁的大小|v₁|＝10 km/h，水流的速度v₂的大小|v₂|＝4 km/h，设v₁和v₂所成的角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　)

A．－  B．－  C．－  D．－

答案　B

解析　由题意知(v₁＋v₂)·v₂＝0，

有|v₁||v₂|cos θ＋v＝0，

即10×4cosθ＋4²＝0，

所以cos θ＝－.

课时精练

1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　)

A．12  B．12  C．－12  D．－12

答案　C

解析　由题意知m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×＝－12.

2．(2023·三明模拟)已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于(　　)

A．5  B．6  C.  D．4

答案　A

解析　∵a＝(λ，2)，b＝(－1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即－λ＋4＝0，∴λ＝4，∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝＝5.

3．已知a，b为非零向量，且|a|＝2|b|，|a＋2b|＝|2a－b|，则a与b夹角的余弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　将等式|a＋2b|＝|2a－b|两边平方，得8a·b＋3b²＝3a²，设a与b的夹角为θ，即8|a||b|cosθ＋3|b|²＝3|a|²，

将|a|＝|b|代入8|a||b|cos θ＋3|b|²＝3|a|²，

得cosθ＝.

4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)

A．3  B.  C．2  D.

答案　B

解析　方法一　设a与b的夹角为θ，∵|a|cos θ＝b，∴＝，∴|a|cos θ＝，∴a·b＝|a||b|cosθ＝×3＝.

方法二　a·b＝b·b＝b²＝.

5．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点P是BC的中点，则·等于(　　)

A．0  B.  C．3  D.

答案　C

解析　由题意可得＝－(＋)＝－，

＝＋＝－，

故·＝－·

＝||²－²＝4－1＝3.

6．在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，△ABC外接圆圆心为O，则·等于(　　)

A．8  B.  C．8  D．18

答案　A

解析　由题意得O为△ABC外心，故·＝²＝8.

7．(2023·郑州模拟)在以OA为边，以OB为对角线的菱形OABC中，＝(4,0)，＝(6，a)，则∠AOC等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题设，＝－＝(2，a)，且||＝||＝4，

所以＝4，则a＝±2，故＝(6，±2)，

由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，则0<∠AOB<，

又cos∠AOB＝＝＝，则∠AOB＝，

所以∠AOC＝.

8．已知P是△ABC所在平面内一点，有下列四个等式：

甲：＋＋＝0；

乙：·(－)＝·(－)；

丙：||＝||＝||；

丁：·＝·＝·.

如果只有一个等式不成立，则该等式为(　　)

A．甲  B．乙  C．丙  D．丁

答案　B

解析　甲：＋＋＝0，则＋＝－，故P为△ABC的重心；

乙：·(－)＝·(－)，则(－)·＝·＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直角三角形；

丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；

丁：·＝·，则(－)·＝·＝0，同理可得·＝·＝0，即P为△ABC的垂心，

当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个至少有两个等式不成立．

9．已知|a|＝4，b＝(－1,0)，且(a＋2b)⊥b，则a与b的夹角为________．

答案　

解析　由b＝(－1,0)，得|b|＝1，

因为(a＋2b)⊥b，所以(a＋2b)·b＝0，

所以a·b＋2b²＝0，

所以|a||b|cos〈a，b〉＋2|b|²＝0，

因为|a|＝4，

所以4cos〈a，b〉＋2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，

因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.

10．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________.

答案　11

解析　(2a＋b)·b＝2a·b＋b²＝2|a||b|cos〈a，b〉＋|b|²＝2×1×3×＋3²＝11.

11．(多选)(2022·佛山模拟)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4 N，水平拉力F₁的大小为3 N，另一力F₂未知，则(　　)

A．当该物体处于平衡状态时，|F₂|＝5 N

B．当F₂与F₁方向相反，且|F₂|＝5 N时，物体所受合力大小为0

C．当物体所受合力为F₁时，|F₂|＝4 N

D．当|F₂|＝2 N时，3 N≤|F₁＋F₂＋G|≤7 N

答案　ACD

解析　由题意知，F₂的大小等于重力G与水平拉力F₁的合力大小，由图①知|F₂|＝5 N，故A正确；

如图②，物体所受合力应等于向量与F₂的和向量的大小，显然B错误；

当物体所受合力为F₁时，说明G与F₂的合力为0，所以|F₂|＝4 N，C正确；

由上知，重力G与水平拉力F₁的合力为，||＝5 N，易知当F₂与同向时合力最大，最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，

即3 N≤|F₁＋F₂＋G|≤7 N，故D正确．

12．已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是(　　)

A．(－6，＋∞)

B.

C.∪

D.∪

答案　C

解析　因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，

所以a·b＝6＋m，

因为向量a，b的夹角是锐角，所以

解得m>－6，且m≠.

所以实数m的取值范围是∪.

13．(多选)已知O为坐标原点，点A(1,0)，P₁(cos α，sin α)，P₂(cos β，sin β)，P₃(cos(α－β)，sin(α－β))，则下列选项正确的是(　　)

A．||＝||

B．||＝||

C.·＝·

D.·＝·

答案　ABD

解析　由题意＝(1,0)，的坐标等于P_i的坐标(i＝1,2,3)，

||＝||＝1，A正确；

||＝＝，

||＝＝＝，

所以||＝||，B正确；

·＝cosα，·＝cosβcos(α－β)＋sinβsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；

·＝cos(α－β)，·＝cosαcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，D正确．

14．(2023·新乡模拟)在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝2，E是BC的中点，F是AB上一点，且·＝0，则·＝________.

答案　－

解析　设＝λ，则＝－＝λ－，

＝＋＝＋.

所以·＝·(λ－)＝λ²＋·－²＝5λ－4＝0，

解得λ＝.

则＝－＝－－，

故·＝(－)·

＝²＋·－²＝－.

15.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝(||²－||²)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.

答案　－16

解析　由题设，||＝3，||＝10，

·＝·(4||²－||²)＝×(36－100)＝－16.

16．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中·的值为________．

答案　6

解析　在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

||＝2，＝＝(1,)，

||＝，即＝，

||＝，由分形知PN∥OM，所以＝，

所以＝＋＋＝，

所以·＝1×＋×＝6.