平面向量的数量积及应用举例 1.向量的夹角
2.平面向量的数量积
3.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
1.辨明三个易误点 (1)①0与实数0的区别:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;②0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系. (2)a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b. (3)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c,即消去律不成立. 2.有关向量夹角的两个结论 (1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为夹角为0时不成立); (2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为夹角为π时不成立).
1.(2016·高考全国卷甲)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 D [解析] 由向量的坐标运算得a+b=(4,m-2), 由(a+b)⊥b, 得(a+b)·b=12-2(m-2)=0, 解得m=8,故选D. 2.(2016·高考全国卷丙)已知向量=,=,则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120° A [解析] 由两向量的夹角公式, 可得cos ∠ABC===,则∠ABC=30°. 3.在边长为1的等边△ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a=( ) A.- B.0 C. D.3 A [解析] 依题意有a·b+b·c+c·a=++=-,故选A. 4. 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________. [解析] 由数量积的定义知,b在a方向上的投影为|b|cos θ=4×cos 120°=-2. [答案] -2 5.平面向量a,b的夹角为60°,a=(2,0),|a+2b|=2,则|b|=________. [解析] 因为a=(2,0),所以|a|=2, 把|a+2b|=2两边平方可得a2+4a·b+4b2=12, 即|a|2+4|a|·|b|cos〈a,b〉+4|b|2=12, 代入数据可得22+4×2|b|×+4|b|2=12, 整理可得|b|2+|b|-2=0,解得|b|=1. [答案] 1 平面向量数量积的运算 (1)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于( ) A.- B.- C. D. (2)(2015·高考天津卷)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________. 【解析】 (1)a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,所以a·b=-1×+2×1=. (2)法一:取,为一组基底,则=-=-, =++=-++=-+, 所以·=· =2-·+2 =×4-×2×1×+=. 法二:以AB所在直线为x轴,A为原点建立如图所示的坐标系. 由于AB=2,BC=1,∠ABC=60°,所以CD=1,等腰梯形ABCD的高为,所以A(0,0),B(2,0),D,C,所以=,=(1,0),又因为=,=,所以E,F,因此·=·=×+×=+=. 【答案】 (1)D (2)
若本例(2)条件变为“=λ,=”,其他条件不变,求·的最小值. [解] 由本例(2)法二知: 因为 =λ=,所以E. 因为 ==,所以F. 所以·=· =+λ=++λ ≥+2 =. 当且仅当=λ,即λ=时取等号,符合题意. 所以·的最小值为.
向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解. [通关练习] 1.(2017·福建省毕业班质量检测)在△ABC中,∠BAC=,AB=2,AC=3,=2,则·=( ) A.- B.- C. D. C [解析] 因为=+=+=+(-)=+,所以·=·(-)=×32-×22+·=+×3×2cos=,故选C. 2.(2017·广州市高考模拟)已知向量a,b满足|b|=4,a在b方向上的投影是,则a·b=________. [解析] a在b方向上的投影是,设θ为a与b的夹角,则|a|·cos θ=,a·b=|a|·|b|·cos θ=2. [答案] 2 3. [解析] 法一:(通性通法)以D为坐标原点,BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0),A(b,c),则E,F,=(b+a,c),=(b-a,c),=,=,=,=,由·=b2-a2+c2=4,·=-a2+=-1,解得b2+c2=,a2=,则·=(b2+c2)-a2=. 法二:(光速解法)设=a,=b,则·=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,·=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=,|b|2=,则·=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=. [答案] 平面向量的夹角与模 平面向量的夹角与模是高考的热点,题型多为选择题、填空题,难度适中. 高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度: (1)求两向量的夹角; (2)求向量的模; (3)两向量垂直问题; (4)求参数值或范围. [典例引领] (1)已知在△ABC中,D为BC的中点,若∠BAC=120°,·=-1,则||的最小值为( ) A. B. C. D. (2)(2017·高考山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________. 【解析】 (1)显然有||=|+|. 因为·=-1,∠BAC=120°, 所以||·||==2, 可得||2=(||2+||2-2)≥(2||·||-2)=, 所以||min=. (2)因为=, 故=, 解得λ=. 【答案】 (1)B (2)
(1)利用数量积求解长度的方法 ①|a|2=a2=a·a; ②|a±b|2=a2±2a·b+b2; ③若a=(x,y),则|a|=. (2)求两个非零向量的夹角的注意事项 ①向量的数量积不满足结合律; ②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明两个向量的夹角为直角;数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角. [题点通关]
1.(2017·湖北优质高中联考)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)∥b,则向量a与向量c的夹角的余弦值是( ) A. B. C.- D.- A [解析] a-c=(3-k,3),因为(a-c)∥b, 所以(3-k)×3=3×1, 解得k=2,当k=2时,cos 〈a,c〉===,故选A.
2.(2017·高考全国卷乙)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a +2 b|= ________ . [解析] 易知|a+2b|= ==2. [答案] 2
3.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.求k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? [解] 由已知得,a·b=4×8×=-16. 因为(a+2b)⊥(ka-b), 所以(a+2b)·(ka-b)=0, ka2+(2k-1)a·b-2b2=0, 即16k-16(2k-1)-2×64=0. 所以k=-7. 即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.
4.已知△ABC是正三角形,若-λ与向量的夹角大于90°,则实数λ的取值范围是________. [解析] 因为-λ与向量的夹角大于90°,所以(-λ)·<0,即||2-λ||·||cos 60°<0,解得λ>2.故填(2,+∞). [答案] (2,+∞) 向量数量积的综合应用 (2017·高考江苏卷)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 【解】 (1)因为a=(cos x,sin x), b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x. 若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故 cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=. (2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos . 因为x∈[0,π],所以x+∈, 从而-1≤cos≤. 于是,当x+=,即x=0时,f(x)取到最大值3; 当x+=π,即x=时, f(x)取到最小值-2.
平面向量与三角函数的综合问题 (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等. (2017·广州海珠区摸底考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-. (1)求sin A的值; (2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影. [解] (1)由m·n=-, 得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-, 所以cos A=-. 因为0<A<π,所以sin A===. (2)由正弦定理,得=,则sin B===,因为a>b,所以A>B,则B=,由余弦定理得=52+c2-2×5c×,解得c=1. 故向量在方向上的投影为 ||cos B=ccos B=1×=. ——平面向量与不等式的交汇 (2015·高考福建卷)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21 【解析】 以点A为原点,,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图. 则A(0,0),B,C(0,t), 所以=(1,0),=(0,1), 所以=+=(1,0)+4(0,1)=(1,4), 所以点P的坐标为(1,4),=, =(-1,t-4), 所以·=1--4t+16=-+17≤-4+17=13.当且仅当=4t, 即t=时取“=”, 所以·的最大值为13. 【答案】 A 求平面向量数量积的最值(或取值范围)的常用方法有两种: 一是“定义法”,即利用平面向量数量积的定义,把两个向量的数量积转化为关于参数的函数,再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值(或取值范围); 二是“坐标法”,即把几何图形放在适当的坐标系中,给有关向量赋予具体的坐标,利用平面向量数量积的坐标表示,结合解析几何的思想方法求其最值(或取值范围). 已知x,y满足若=(x,1),=(2,y),且·的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是( ) A.1 B. C. D. D [解析] 因为
1.已知A,B,C为平面上不共线的三点,若向量=(1,1),n=(1,-1),且n·=2,则n·等于( ) A.-2 B.2 C.0 D.2或-2 B [解析] n·=n·(+)=n·+n·=(1,-1)·(-1,-1)+2=0+2=2. 2.(2017·山西省第二次四校联考)已知|a|=1,|b|=,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为( ) A. B. C. D. B [解析] 因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=a2-a·b=1-cos〈a,b〉=0,所以cos〈a,b〉=,所以〈a,b〉=. 3.(2017·贵州省适应性考试)若单位向量e1,e2的夹角为,向量a=e1+λe2(λ∈R),且|a|=,则λ=( ) A.- B.-1 C. D. A [解析] 由题意可得e1·e2=,|a|2=(e1+λe2)2=1+2λ×+λ2=,化简得λ2+λ+=0,解得λ=-,选项A正确. 4.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 C [解析] 由(+)·=||2,得·(+-)=0,即·(++)=0, 所以2·=0,所以⊥. 所以∠A=90°,又因为根据条件不能得到||=||.故选C. 5.已知正方形ABCD的边长为2,点F是AB的中点,点E是对角线AC上的动点,则·的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B [解析] 以A为坐标原点,、方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则F(1,0),C(2,2),D(0,2),设E(λ,λ)(0≤λ≤2),则=(λ,λ-2),=(1,2),所以·=3λ-4≤2. 所以·的最大值为2.故选B. 6.(2017·河北衡水中学四调)已知和是平面内的两个单位向量,它们的夹角为60°,则2-与的夹角是( ) A.30° B.60° C.90° D.120° C [解析] 设2-与的夹角为θ,则cos θ=,又与是平面内的两个单位向量,则||=1,||=1,则(2-)·=-(2-)·=-2·+2=-2||·||cos 60°+||2=0,所以cos θ=0,又0°≤θ≤180°,所以θ=90°,故选C. 7.(2016·高考全国卷乙)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________. [解析] 由|a+b|2=|a|2+|b|2得a⊥b ,则m+2=0,所以m=-2. [答案] -2 8.(2017·安徽皖江名校联考)在△ABC中,已知向量=(2,2),||=2,·=-4,则△ABC的面积为________. [解析] 因为=(2,2),所以||==2.因为·=||·||cos A=2×2cos A=-4,所以cos A=-,因为0<A<π,所以sin A=,所以S△ABC=||·||sin A=2. [答案] 2 9.已知两个力F1,F2的夹角是直角,且它们的合力F与F1的夹角是60°,|F|=10 (N),则F1和F2的大小分别是________N. [解析] 如图所示,表示F1,表示F2, 以与为邻边作矩形OADC, 则表示F,在Rt△OCD中, ∠COD=60°,|F|=10(N), 所以|F1|=|F|cos 60°=10×=5(N), 所以||=|F|sin 60°=10×=5(N), 又因为|F2|=||,所以|F2|=5(N), 所以F1和F2的大小分别为5 N和5 N. [答案] 5,5 10.(2017·石家庄市教学质量检测)已知向量a,b,c满足|a|=,|b|=a·b=3,若(c-2a)·(2b-3c)=0,则|b-c|的最大值是________. [解析] 由题意可设A(1,1),B(3,0),C(x,y),则a=,b=,c==(x,y),因为(c-2a)·(2b-3c)=0,所以(x-2)(6-3x)+(y-2)(0-3y)=0,(x-2)2+(y-1)2=1,即点C在以(2,1)为圆心,1为半径的圆上,所以|b-c|≤+1=1+,故|b-c|的最大值是1+. [答案] 1+ 11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求△ABC的面积. [解] (1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61, 所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61, 所以a·b=-6.所以cos θ===-. 又因为0≤θ≤π,所以θ=. (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=. (3)因为与的夹角θ=, 所以∠ABC=π-=. 又||=|a|=4,||=|b|=3, 所以S△ABC=||||sin ∠ABC=×4×3×=3. 12.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C. (1)求角C的大小; (2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·(-)=18,求c边的长. [解] (1)m·n=sin A·cos B+sin B·cos A =sin(A+B), 对于△ABC,A+B=π-C,0<C<π, 所以sin(A+B)=sin C, 所以m·n=sin C,又m·n=sin 2C, 所以sin 2C=sin C,cos C=,C=. (2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得 2sin C=sin A+sin B,由正弦定理得2c=a+b. 因为·(-)=18,所以·=18, 即abcos C=18,ab=36. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 所以c2=4c2-3×36,c2=36, 所以c=6.
13.已知直线x+y=a与圆x2+y2=2交于A,B两点,O是原点,C是圆上一点,若+=,则a的值为( ) A.±1 B.± C.± D.±2 A [解析] 因为A,B,C均为圆x2+y2=2上的点, 故||=||=||=, 因为+=, 所以(+)2=2, 即2+2·+2=2, 即4+4cos ∠AOB=2,故∠AOB=120°. 则圆心O到直线AB的距离d=·cos 60°==,即|a|=1,即a=±1. 14.(2017·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”:a⊗b=(a,b是任意的两个向量). 对于同一平面内的向量a,b,c,e,给出下列结论: ①a⊗b=b⊗a; ②λ(a⊗b)=(λa)⊗b(λ∈R); ③(a+b)⊗c=a⊗c+b⊗c; ④若e是单位向量,则|a⊗e|≤|a|+1. 以上结论一定正确的是________.(填上所有正确结论的序号) [解析] 当a,b共线时,a⊗b=|a-b|=|b-a|=b⊗a,当a,b不共线时,a⊗b=a·b=b·a=b⊗a,故①是正确的;当λ=0,b≠0时,λ(a⊗b)=0,(λa)⊗b=|0-b|≠0,故②是错误的;当a+b与c共线时,则存在a,b与c不共线,(a+b)⊗c=|a+b-c|,a⊗c+b⊗c=a·c+b·c,显然|a+b-c|≠a·c+b·c,故③是错误的;当e与a不共线时,|a⊗e|=|a·e|<|a|·|e|<|a|+1,当e与a共线时,设a=ue,u∈R,|a⊗e|=|a-e|=|ue-e|=|u-1|≤|u|+1,故④是正确的.综上,结论一定正确的是①④. [答案] ①④ 15.(2017·安康模拟)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,2)、B(4,1)、C(-6,9). (1)若AD是BC边上的高,求向量的坐标; (2)若点E在x轴上,使△BCE为钝角三角形,且∠BEC为钝角,求点E横坐标的取值范围. [解] (1)设D(x,y),则=(x,y-2), =(x-4,y-1), 由题意知AD⊥BC,则·=0, 即-10x+8(y-2)=0,即5x-4y+8=0,① 由∥,得8(x-4)=-10(y-1), 即4x+5y-21=0,② 联立①②解得x=,y=, 则=. (2)设E(a,0),则=(4-a,1),=(-6-a,9), 由∠BEC为钝角,得(4-a)·(-6-a)+9<0,解得-5<a<3, 由与不能共线,得9(4-a)≠-6-a,解得a≠. 故点E的横坐标的取值范围为(-5,3). 16.已知向量a=,b=,实数k为大于零的常数,函数f(x)=a·b,x∈R,且函数f(x)的最大值为. (1)求k的值; (2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若<A<π,f(A)=0,且a=2,求·的最小值. [解] (1)由题意知,f(x)=a·b=·=ksincos-kcos2 =ksin-k· =- =- =sin-. 因为x∈R,所以f(x)的最大值为=, 则k=1. (2)由(1)知,f(x)=sin-, 所以f(A)=sin-=0, 化简得sin=, 因为<A<π,所以<-<, 则-=,解得A=. 因为cos A=-==, 所以b2+c2+bc=40, 则b2+c2+bc=40≥2bc+bc, 所以bc≤=20(2-). 则·=||||cos=-bc≥20(1-), 所以·的最小值为20(1-).
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