初中数学培优：四种常见的几何关系的探究

全等三角形的性质和判定是初中数学的重要内容，也是学习其他几何知识的基础，三角形全等的判定和性质是判断线段相等、角相等的重要依据，由此还可以获得直线之间的垂直（平行）关系，线段（面积）的和、差、倍、分关系。今天我们将对四种常见的几何关系进行探究，学会了几何再也难不住你了！

类型一：位置关系

例1：如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB．求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN．

【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠1＝∠2，然后利用“边角边”证明△ABM和△NCA全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠3＝∠N，再根据CF⊥AB可得∠4+∠N＝90°，所以∠3+∠4＝90°，即∠MAN＝90°，从而得证．

【解答】证明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，

∴∠1+∠BMF＝90°，∠2+∠CME＝90°，

∵∠BMF＝∠CME（对顶角相等），

∴∠1＝∠2，

（2）根据（1）可得△ABM≌△NCA，

∴∠3＝∠N，

∵CF⊥AB，

∴∠4+∠N＝90°，

∴∠3+∠4＝90°，

即∠MAN＝90°，

因此，AM⊥AN．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，已知两组对应边相等，想法证明这两边的夹角相等是解题的关键，思路比较清晰．

类型二：相等关系

例2：如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，AB=AC，EB=EC，试说明：BD=CD

【分析】方法一：利用三角形全等，证明AB＝AC，再利用三线合一证明．

方法二：利用线段的垂直平分线的判定和性质证明．

方法二：∵AB＝AC，EB＝EC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上，点E在线段BC垂直平分线上，

∴AE垂直平分线段BC，

∴BD＝DC．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

​类型三：和差关系

例3：如图，∠BCA＝α，CA＝CB，C、E、F分别是直线CD上的三点，且∠BEC＝∠CFA＝α，请提出对EF，BE，AF三条线段之间数量关系的合理猜想，并证明．

【分析】由题意推出∠BCE＝∠CAF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．

【解答】EF＝BE+AF．

证明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，

∠α＝∠BCA，

∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，

∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，

∴∠BCE＝∠CAF，

【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

类型四：倍数关系

例4（2018秋·嘉荫县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝∠A，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．

当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图①），易证S△DEF+S△CEF＝S△ABC；当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？请说明你的猜想，不需证明．

【分析】如图②连接CD，证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；如图③，同（1）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+1/2S△ABC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．