初中数学思维——数形结合的应用，考前必看（上）

数和形都是数学的研究对象，它们之间存在着密切联系。

学习有理数时，我们引进了数轴这一概念，于是，有理数大小比较、相反数、绝对值等概念，以及有理数的运算法则，便能被直观地感知和理解.

不仅如此，学习整式乘法、乘法公式，引进无理数概念，揭示函数性质等，无不受到图形的启发，利用“形”辅佐我们“数”的学习另一方面，我们开始学习几何图形时，又利用“数”来刻画形的一些基本关系，如余角和补角的意义、判别，就离不开数。

图1中，两个直角∠AOB与∠COD有公共顶点，判断∠BOC与∠AOD的关系我们设∠BOC的度数为x，那么∠AOC的度数为90°－x，于是，∠AOD(90°－x)＋90°＝180°－x＝180°－∠BOC，立刻发现∠BOC与∠AOD互为补角。

图形的形状、大小以及位置关系的判断，也常常依赖于数与式的运算和变形，平面直角坐标系成为“数”与“形”相互转化的工具，更密切了“形”与“数”的联系。

正如华罗庚教授所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，“数”与“形”

存在互补关系。

例1

如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠ECD的度数。

解：设∠ECD＝x，∠ACE＝α， ∠BCD＝β，则x＋α＋β＝90°.

由AD＝AC，BE＝BC，得∠ADC＝x＋α，∠BEC＝x＋β

在△CED中，x＋(x＋α)＋(x＋β)＝180°，

把①代入，得2x＝90°，x＝45°，即∠ECD＝45°.

反思：不用单个字母表示有关的角，利用“等边对等角”后，∠ADC和∠BEC的等角就在顶点C处有部分重叠，增加观察难度.因此，常用希腊字母表示相关的角，使等式清晰.

例2

如图3，BD是△ABC的中线，点E，F三等分BC，AE，AF与BD分别相交于点P，Q，求BP：PQ：QD.

思考：求线段的比，一般离不开平行线，注意到D是AC的中点，以点D为中心，把△ABC进行中心对称变换，就能在保持点E，F位置特点和不分割中线BD上各条线段的前提下获得所需要的平行线。

解：以点D为对称中心，对△ABC进行中心对称变换，得平行四边形ABCB₁，点E，F，P，Q的对应点分别为点E，F，P，Q，并设BP＝x，PQ＝y，QD＝z.

由AE∥CE₁，得，所以x＝y＋z. ①

由AF∥CF，得＝2，所以

x＋y＝4z. ②

把①代入②，y＋z＋y＝4z，y＝z，代入①，得x＝z.

所以BP：PQ：QD＝z：z：z＝5：3：2

反思：利用线段的中点，对图形进行中心对称变换，产生平行四边形和互相平行的对应线段，使一个探究比例线段的不规则图形化归为规范图形为我们添加平行辅助线开辟了新的思路.本题最后归结为方程组变形问题显示了代数方法的优势.

如图4，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上的任意一点，连接AP.求证：AB²－AP²＝PB·PC.

思考：AB²，AP²可以通过底边上的高线发生联系，虽然点P是任意的，但底边上的高线与中线重合，因此也能与底边的长发生联系.

证明：作AD⊥BC于点D，由AB＝AC知D是BC的中点，则

AB²－AP²＝(BD²＋AD²)－( PD²＋AD²)

＝BD²－PD²＝(BD＋PD)(BD－PD)

＝PB·PC

反思：观察所探究的对象之间的联系，一般要通过“中介”，本题的中介是△ABC的高线AD.

例4

在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D是AB上任意一点，连接CD。求证：AD²＋BD²＝2CD²

证明：本题除了可以像例16.3那样证明外，我们介绍坐标法，这也是利用“数”解决“形”的问题的一般方法。

以直角顶点C为原点，直线CA为x轴，建立平面直角坐标系(图5).

根据题设，设点A的坐标为(a，0)，则点B的坐标为(0，a)，其中a＞0.

设AB所在直线的解析式为y＝kx＋a，因A在直线上，所以ka＋a＝0，k＝－1，所以直线AB的解析式为y＝－x＋a.

设点D的坐标为(x₁，y₁)，则

AD²＋BD²＝(x₁－a)²＋y₁²＋(y₁－a)²＋x₁²

＝2(x₁²＋y₁²)＋2a²－2a(x₁＋y₁).

由点D在直线AB上，得y₁＝－x₁＋a，x₁＋y₁＝a，代入上式，得AD²＋BD²＝2(x₁²＋y₁²)，而CD²＝ x₁²＋y₁²，所以AD²＋BD²＝2CD².

说明：用坐标法解题，必须建立坐标系.

虽然坐标系可以随意建立，但为了运算方便，要尽可能利用已知图形的特征，使尽可能多的点是特殊点，比如本题的坐标系使点A，B都在坐标轴上，点C位于原点.

此外，建立坐标系，只要指出原点和x轴的位置，y轴自然被确定，也可以指出x，y轴的位置，原点自然被确定，比如本题也可以这样说：

分别以CA，CB所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.坐标系建立后，要指出特殊点的坐标、已知直线的解析式，比如本题点A，B的坐标和直线AB的解析式，这是为代数式计算或变形做准备本题证明中写出的AD，BD2，CD2，可以根据坐标的意义，利用勾股定理想到，不必记公式，坐标法的优点是借助坐标系，立刻把几何问题化归为代数问题.

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