由易到难，深入浅出——一道竞赛题的解法

有一道全国数学竞赛题：

设a、b、c、d互不相等，且a+1/b=b+1/c=c+1/d=d+1/a=x，求x的值．

分析：已知条件等式十分和谐，看一眼就令人难以忘怀．可是如何求解x的值却令人望而生畏，大伤脑筋．下面我们先来考虑由此题演变出来的两个比较简单的问题：

（1）设a≠b，且a+1/b=b+1/a=x，求x的值；

（2）设a、b、c互不相等，且a+1/b=b+1/c=c+1/a=x，求x的值．

问题（1）给出的等式事实上是a、b的等量关系，加入x后事实上是关于a、b、x三个未知数的两个方程组成的方程组：

a+1/b=x………①

b+1/a=x………②

由于方程的个数比未知数的个数少，所以想消去a、b把方程组转化为只含有x的方程是不可能的．但只消去a或b是易如反掌的事．比如消去b，只需要：

由②，得：b=x-1/a=（ax-1）/a，

所以1/b=a/(ax-1)，代入①，得

a+a/(ax-1)=x，

去分母，得：a(ax-1)+a=x(ax-1)，

整理，得:

ax^²-a^²x-x=0，

所以x(ax-a^²-1)=0，

所以x=0或ax-a^²-1=0.

如果ax-a^²-1=0，则ax=a^²+1，

x=a+1/a，代入①，得

a+1/b=a+1/a，

整理，得a=b，

但a≠b,所以x≠a+1/a．

综上，x=0.

可见，问题（1）解答并不难，关键抓住解多元问题的基本思想——消元．

有了解答问题（1）的经验，解答问题（2）我们自然会马上想到了类似的解法．

解：把已知条件写成如下方程组：

a+1/b=x………①

b+1/c=x………②

c+1/a=x………③

由①，得：1/b=x-a，

所以b=1/(x-a)；

由③，得：c=x-1/a=(ax-1)/a，

所以1/c=a/(ax-1)，

把b、c代入②，得：

1/(x-a)+a/(ax-1)=x，

去分母，得:ax-1+a(x-a)=x(x-a)(ax-1),

去括号，移项，合并同类项，并整理为关于a的降幂排列，得：

(x^²-1)a^²+(x-x^³)a+x^²-1=0，

(x^²-1)a^²-x(x^²-1)a+(x^²-1)=0，

所以(x^²-1)(a^²-ax+1)=0

所以x^²-1=0，或a^²-ax+1=0.

如果x^²-1=0，则

x^²=1，x=±1.

如果a^²-ax+1=0，则

ax=a^²+1，

所以x=a+1/a，代入①，得

a+1/b=a+1/a，a=b，与题意不合，

所以x≠a+1/a；

综上，x的值为±1．

有了上述的经验与方法，问题的解答便水到渠成．

解：把已知等式化为如下方程组：

a+1/b=x………①

b+1/c=x………②

c+1/d=x………③

d+1/a=x………④

由①，得：1/b=x-a，

所以b=1/(x-a)，代入②，得：

1/(x-a)+1/c=x,

所以1/c=x-1/(x-a)………⑤

由④，得d=x-1/a=(ax-1)/a，

所以1/d=a/(ax-1),代入③，得：

c+a/(ax-1)=x,

所以c=x-a/(ax-1)……⑥

⑤×⑥，得：

1/c·c=[ x-1/(x-a)][x-a/(ax-1)],

两边乘以(x-a)(ax-1)，去分母，得：

(x-a)(ax-1)=[x(x-a)-1][x(ax-1)-a]，

去括号，移项、合并同类项，并整理为按a降幂排列，得：

(x^³-2x)a^²+(2x^²-x^⁴)a+(x^³-2x)=0，

所以x(x^²-2)a^²-x^²(x^²-2)a+x(x^²-2)=0,

所以 x(x^²-2)(a^²-ax+1)=0，

所以x=0或x^²-2=0或a^²-ax+1=0，

所以x=0或x=±√2或x=a+1/a．

若x=0，则由⑤，得a=c，不合题意；

若x=a+1/a，则由①，得a=b，不合题意．

所以x=±√2．