信号处理

作者：桂。

时间：2017-01-17  23:41:13

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/articles/6294111.html 

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前言

 信号处理一个重要的关系就是时域与频域的关系，本专题为：信号处理的频域处理。

本文主要讲述信号从时域连续信号到数字信号的变化，以及对应的频域关系，内容较为基础，公式不作具体推导。

更多详细的理论以及对应MATLAB代码，可以参考另一篇博文。

理论分析

（图1 信号的时频对应关系）

　　A.傅里叶变换（FFT）

由图1（a）可以看出，连续非周期时域连续信号，对应频域信号仍然是连续信号。

对应的变换关系为：

时域——>频域

F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωtdt$F(\omega )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt$ 

频域——>频域

f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)ejωtdt$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t}dt$ 

图1（b）为傅里叶级数，此处不作描述。

 

　　B.离散时间傅里叶变换(DTFT)

图1（c）表示对图1（a）在时域上进行采样，得到时域的离散信号，对应的频域信号仍然是连续信号，并且是以采样率为周期的周期信号。

对应的变换关系为：

时域——>频域

F(ejω)=∑+∞−∞f(n)e−jωn$F(e^{j\omega })=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(n)e^{-j\omega n}$

频域——>时域

f(n)=12π∑+π−πF(ejω)ejωn$f(n)=\frac{1}{2\pi }\sum _{-\pi }^{+\pi }F(e^{j\omega })e^{j\omega n}$

 

　　C.离散傅里叶变换（FFT）

图1（d）表述对图1（c）在频域上进行采样，得到的时域离散信号，对应的频域也变为离散信号。

对应的变换关系为：

时域——>频域

 F(k)=∑N−1n=0f(n)e−j2πknN$F(k)=\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$  

频域——>时域

 f(n)=1N∑N−1k=0F(k)ej2πknN$f(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{\frac{j2\pi kn}{N}}$ 

 

三种变换的关系总结一下，关系如图2所示。至于FFT，是DFT的蝶形运算，本质相同，仅仅是运算不同，这里只是分析信号变换的对应关系，FFT的原理不作讨论。

（图2 三种变换的对应关系）