关于黎曼猜想的三个故事

​关于黎曼猜想的三个故事

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这两天数学界有个大新闻，说的是世界上最伟大的数学家之一的迈克尔· 阿提亚，这位将近九十岁的老爷爷刚刚宣布说，他已经把黎曼猜想证明出来了。



迈克尔·阿提亚爵士，英国数学家

主要研究领域为几何，当代最伟大的数学家之一

作者：Gert-Martin Greuel    图片来源：维基百科

“黎曼猜想”是数学这座大山上，最顶级的问题。如果真的被证明出来了，那么，这将是本世纪以来，数学界最大的一件事。

关于这个黎曼猜想，有三个数学家的故事你可以听一听。听完了这三个故事，你对于黎曼猜想，可能会产生新的想法。

| 黎曼是谁？

我先说第一个故事，是关于黎曼本人的故事。

黎曼是一个非常伟大的数学家，但他一生过得非常悲惨。



波恩哈德·黎曼 （1826-1866）

德国数学家，黎曼几何学创始人

图片来自维基百科

黎曼生活的时代，相当于我们的清朝末年。他的爸爸是个乡下的牧师，黎曼全家八口人，就靠他爸爸一个人养，所以他们家非常穷。穷到黎曼的几个兄弟姐妹从小就吃不饱、穿不暖，全都营养不良。

黎曼除了营养不良外，他还有个特别的地方，就是很害羞，一跟人说话就脸红、紧张，他特别希望哪儿也不去，整天就在家呆着。

黎曼一生中有一段非常痛苦的时候，是在他十四岁的时候。你可能猜不到，黎曼直到十四岁，他才第一次上学。你想象一下，假如你有一个同学，他从小没上过幼儿园，没上过小学，这辈子第一次进学校直接进的就是初中，而且这个人还害羞，还不爱交朋友，因为营养不良身体还特别弱。那你说，他能不被人欺负么？

所以，黎曼年轻的时候是非常痛苦的。

后来，黎曼终于毕业了，但是他赚的钱也很少。他一开始在大学里当的是“无薪讲师”。这个“无薪讲师”意思就是说，你是大学老师，但是你没有工资，你的收入是学生自己给的。也就是说，有几个学生听课，你就拿几个人的钱。

可是黎曼这人害羞啊，特别不会说话，而且因为他特别聪明，讲课的时候经常跳步骤，所以讲课的效果就特别不好。因为他自己觉得有的解题步骤很容易，一眼就能看出来，他就略过不讲，可是学生在底下听不懂啊，提问说“哎呀老师您给我讲一下呗，什么意思啊这都是”。这就让害羞的黎曼很窘迫，课都讲不下去。

所以，黎曼的学生就特别少，他的第一门课只有八个人听。学生少，收入就低。有一段时间，他的全家都靠他当邮递员的弟弟养着。

总而言之，黎曼过了一段很艰苦的生活，后头情况终于有了一些好转。他当上了柏林科学院的通讯院士。按照惯例呢，你当这个院士，就需要交一篇论文，讲一下你现在在干嘛。黎曼就交了一篇论文。

这篇论文写得非常粗糙，就十页，里面有很多数学步骤都跳过去了。比如很多地方黎曼是写成这样的，说：“这事儿我很想弄明白，但是我没来得及，我现在也不知道是怎么回事儿。”

但是，这篇论文后来在数学史上非常重要。你要注意了，在这篇论文里，黎曼一共提出了六个猜想。在这个论文发表之后的三十年里，其中五个猜想都被解决了，只留下最后一个猜想，那就是我们现在说的“黎曼猜想”。 

那黎曼猜想为什么厉害呢？

有一个写数学史的作家，打了一个比方，他说，数学家可以分成两种，一种是逻辑型的，一种是直觉型的。

你看逻辑型数学家的论文，就像攀岩，它每一步都走在坚实的论证上，走稳了一步，再走下一步。他的推理过程非常严谨。

而直觉型数学家呢，他的论文就像空中飞人。他动不动就把自己扔到天上去，撒手在天上飞。观众看着以为他会有危险，结果他飞到一半，正好能抓住另一个钩。他心里是有底的。黎曼就是这种直觉型的数学家。

这是什么意思呢？就是黎曼看问题，里面是缺逻辑的。他不知道里面的逻辑一步步怎么回事，但是他知道这个问题的方向通向哪儿，而且他说的这个方向还特别准。

黎曼猜想就是这么一种东西。

我们现在来说一下什么是黎曼猜想，黎曼猜想是一个关于质数规律的猜想。



黎曼猜想手稿

图片来源：www.claymath.org

你在上小学五年级的时候，会学到质数。简单地说，一个比1大的整数，不能被1和它自身之外的其他整数整除，这个数就叫质数。比如2、3、5、7、11、13都是典型的质数。

质数有个非常特别的地方是，直到今天，也没有数学家能够精确描述出质数出现的规律。找到质数的规律，是数学界最大的一个难题。

黎曼也不知道怎么解决这个问题，但是他能猜出答案来。

他猜出的结果，就是黎曼猜想。

今天有一个我很崇拜的科普作家，叫恩特老师（@Ent_evo）。我在微博和豆瓣网已经关注他很多年了。恩特老师对黎曼猜想，有一个描述特别好。我现在复述一下他的说法——

“我们可以用最简单的话描述黎曼猜想，就是说，有一个关于质数的数学公式，按照这个数学公式，你能画出无穷多个点。因为我们不知道质数分布的规律，所以按照常理来说，我们是不能精确预测出这些点在哪儿的。结果黎曼就发现，这些点竟然是有规律的。黎曼认为，所有的这些点，一定会排列成两条直线。绝对不会有例外”。

黎曼认为存在这样的规律，但是他自己证不出来。世界上其他的数学家，也都证不出来。

但是我们有一个笨办法，可以证明这个猜想是错的。你想，在黎曼猜想里不是有无数个点么，那我们就挨个去试这些点。只要我们发现有一个点在这两条直线外，我们就可以证明黎曼猜想是错的了。

于是数学家们就去试。数学家们试验了几十年，试到今天，人类借助计算机，已经试了10万亿个点，还是没有发现例外。10万亿是个非常巨大的数字，所以很多人就觉得，黎曼猜想很可能是对的。甚至于数学家们已经在用黎曼猜想解决了很多数学和物理问题。可见黎曼发现的这个规律，它是真的有用的。

现在唯一的问题就是，我们不知道这个有用的规律是怎么推导出来的。

这种情况，就好比我们今天的科学家能生产出一个传送门，能把你送到任意空间。这传送门超级好用，一用就灵，一点毛病没有，可是这个门的原理，我们竟然不知道。如果我们能找到这个原理，肯定藏着巨大的价值。这就是黎曼猜想的价值。

好了，现在你大概知道了，黎曼猜想是怎么回事了。

| 为黎曼“痴狂”的希尔伯特

我们刚刚讲完了关于黎曼猜想的第一个故事——黎曼本人的故事。这还没完，我再给你讲第二个故事。这个故事的主人公也是一个数学家，叫做希尔伯特。



大卫·希尔伯特（1862-1943），德国数学家

19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一

图片来自维基百科

希尔伯特在数学史上做过一件非常有名的事，他在“第二届国际数学家大会”上，提出了他认为最重要的23个数学问题。因为希尔伯特在数学领域有很深的洞见，所以这23个问题，就成了当时数学界的纲领。就相当于希尔伯特给当时的数学家们指出了方向说，你们就应该朝这23个方向前进。

希尔伯特提出的这23个问题，有一些很快就被解决了，有一些虽然没有解决，但是进展也不错，只有一个问题进展特别慢，那就是黎曼猜想。

希尔伯特本人非常关心黎曼猜想。

据说，有一次，他的一个学生，给他交来一篇论文，说自己证明了黎曼猜想。希尔伯特一看，这论文证得特别漂亮。但是，希尔伯特从里面发现一个错误，也就是说这个论文是有缺陷的。但是没关系，咱继续努力嘛。

后来非常可惜，这个学生第二年去世了。希尔伯特非常痛苦，他就跟这个孩子的父母说：“我想在葬礼上，给这个孩子发表一个悼词”。孩子父母就同意了。

葬礼那天，天上下着大雨，亲友们在墓地边上哭，希尔伯特就上来致悼词，说：“哎呀，这个孩子啊，这么有才华，年纪轻轻，太可惜了。虽然他证的这个黎曼猜想有错，但是我认为咱将来一定能攻克”。说到这里，希尔伯特突然兴奋了，说：“好，咱们现在就来考虑一个复变函数……”结果，他就在自己学生的葬礼上，激情地讲起了那个数学证明。

这个故事的意思是说，希尔伯特对黎曼猜想特别关心。甚至在葬礼这么一个场合，他都忍不住要去谈黎曼猜想的证明。

据说还有人问过希尔伯特一个问题，说：“如果你沉睡了几百年，然后醒过来，你想干什么？”希尔伯特说，“我想问问有人把黎曼猜想证出来了吗？我太想知道了”。

| 差点成功的哈代

我们当然知道，黎曼猜想后来一直也没有被解出来。但是在之后的很多年里，有很多数学家都为黎曼猜想付出过心血。比如我接下来要讲的第三个数学家哈代。



戈弗雷·哈罗德·哈代（1877-1947）

英国数学家，被认为是二十世纪英国分析学派的代表人物

图片来自维基百科

哈代这人很了不起，希尔伯特对哈代的评价很高，认为他是英国最好的数学家。但是哈代这个人的性格很逗，他特别“皮”。他一辈子就是个顽童。

据说有一次过年，哈代给一个好朋友写了一封信，信里面写了他的六个新年愿望。

这六个愿望都特“皮”。

比如有一个愿望是，他希望英国和德国能组成一个社会主义国家，他哈代要当第一任总统；还有一个愿望是，他要当第一个能登上珠穆朗玛峰的人；还有一个愿望，是他希望能向大众证明上帝不存在。因为哈代这人特别不信上帝，总拿上帝开玩笑。

而在哈代的六个愿望里，排在第一位的，就是能证明出黎曼猜想。 

哈代这人对黎曼猜想是有执念的。

哈代37岁的时候，在黎曼猜想上取得了重大突破，这件事让当时的希尔伯特大受鼓舞。希尔伯特当时甚至以为，自己能在活着的时候看到黎曼猜想被证出来。

但是最后哈代还是没能把黎曼猜想证出来，所以就有了下面这个故事。

哈代这人不信上帝，又特调皮。有次他在丹麦准备渡海回家。可是这个时候正好海上风浪特别大，坐船很危险。结果哈代想了想，还是上船了。但是他在上船前，给自己的朋友写了一张明信片，也有人说是发了一封电报，里面的内容是：“我证明出了黎曼猜想！”

你可能会问了，哈代不是没证出黎曼猜想么？哈代的思路是这样的：“万一船要是沉了，我哈代淹死了，那么别人根据这个消息，都会相信我真的证明出了黎曼猜想。可是我这人老不尊重上帝，爱拿上帝开玩笑，那上帝他老人家肯定不会让这么好的事儿，发生在我的身上。所以上帝肯定不会让船沉的”。

你看，这就是他跟上帝调皮了一下。 

那么，我们现在想一下，哈代这么想证明黎曼假设，真的是为了出名吗？或者是为了钱吗？其实都不是。

哈代不爱钱，他生前，每出一本书，都会把一部分钱捐出去。他去世后，他的遗产除了留一部分给妹妹外，其余也都捐出去了。哈代还说过：“如果用实用的标准来衡量的话，我的数学生涯的价值就是零。”就是说他认为他研究的那些东西其实是没有用的。

那你说，哈代他为什么要这么执着地证明黎曼猜想呢？

包括前面提到的黎曼也好，希尔伯特也好，他们为什么这么关心黎曼猜想呢？

这个答案，用希尔伯特晚年的一次演讲可以回答。

在希尔伯特那个时代，曾经有一个科学家发表过一个演讲，提出了几个根本的哲学和科学问题，他说：“这几个问题的答案我们不知道，而且我们永远也不知道。”

这两句话在当时很流行，可是希尔伯特非常痛恨这两句话。

在希尔伯特晚年退休的时候，有个电台邀请他做一个特别的演讲。

我在今天这一讲的最后呢，给你念一下最后这几句话。你要注意它的最后两句，在科学史上非常有名。希尔伯特就针对那句“我们不知道，而且我们永远也不知道”，他是这么说的——

“对我们来说没有什么不可知，以我的看法，对于自然科学来说也没有什么不可知。拋弃这个愚蠢的不可知，让我们决心反其道而行之。我们必须知道，我们必将知道。”

今天的内容就是这样，感谢你的收听，我们下次再见。