如何理解指数分布？

1 泊松分布

指数分布和泊松分布息息相关，所以先简单回忆下之前介绍过的泊松分布。公司楼下有家馒头店，每天早上六点到十点营业：

老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据），想从中找到一些规律：

从中可以得到最简单的规律，均值：

这个规律显然不够好，如果把营业时间抽象为一根线段，把这段时间用   来表示：

然后把卖出的馒头数画在这根线段上（节约篇幅，只画出周一周二作为示意），可以看到每天卖出的馒头起伏还是很大的：

经过老板一系列的骚操作（更具体的推导请看如何理解泊松分布），最后得到每日卖出的馒头数  服从泊松分布：

泊松分布的具体表达式为：

据此可以画出每日卖出馒头数的概率分布，这个规律就比均值要精细很多了：

2 馒头卖出之间的时间间隔

下面来讨论另外一个问题，馒头卖出之间的时间间隔：

可以看出也是随机变量（也就是图中的 ），不过相对馒头卖出个数而言，时间间隔肯定是连续的随机变量。

如果知道这个时间间隔，老板也好调整自己的服务员人数（时间间隔短，那么需要的服务人员就多，反之需要的就少），优化成本结构。那么问题来了，这个时间间隔服从什么分布？

3 一天的间隔

既然都是卖馒头的问题，那么还是让我们从已知的泊松分布上想想办法。之前得到的泊松分布让我们知道了每天卖出的馒头数，所以下面按天来分析看看。

假如某一天没有卖出馒头，比如说周三吧，这意味着，周二最后卖出的馒头，和周四最早卖出的馒头中间至少间隔了一天：

当然也可能运气不好，周二也没有卖出馒头。那么卖出两个馒头的时间间隔就隔了两天，但无论如何时间间隔都是大于一天的：

而某一天没有卖出馒头的概率可以由泊松分布得出：

根据上面的分析，卖出两个馒头之间的时间间隔要大于一天，那么必然要包含没有卖出馒头的这天，所以两者的概率是相等的。如果假设随机变量为：

那么就有：

4 柏松过程

之前求出的泊松分布实在限制太大，只告诉了我们每天卖出的馒头数。不过没有关系，稍微扩展下可以得到新的函数：

通过新的这个函数就可知不同的时间段内卖出的馒头数的分布了（  时就是泊松分布）：

扩展后得到的函数称为 泊松分布 ，这里涉及到比较复杂的知识，就不做推导了，感兴趣的同学可以自行根据关键字扩展学习。

5 指数分布

两次卖出馒头之间的时间间隔大于  的概率，根据之前的分析，等同于  时间内没有卖出一个馒头的概率，而后者的概率可以由泊松过程给出。至此所需的条件都齐备了，那么开始解题吧，假设随机变量：

这个随机变量的概率可以如下计算：

进而有：

这其实已经得到了  的累积分布函数了：

对其求导就可以得到概率密度函数：

这就是卖出馒头的时间间隔  的概率密度函数，也称为 指数分布 。

6 指数分布的图像

指数分布中的  是每日平均卖出的馒头数，如果  越大，也就是说每日卖出的馒头越多，那么两个馒头之间的时间间隔必然越短，这点从图像上也可以看出。

当  较小的时候，比如说  吧，也就是说一天只卖出一个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于 1 的可能性就很大（下图是指数分布的概率密度函数的图像，对应的概率是曲线下面积）：

而如果  较大的时候，比如说  吧，也就是说一天卖出三个馒头，那么馒头卖出间隔时间大于1的可能性已经变得很小了：

7 柏松分布与指数分布的期望

每日卖出馒头的数目  服从泊松分布，卖出馒头的时间间隔   服从指数分布：

他们的期望分别为：

根据之前的分析就比较好理解了，  的含义是平均每日卖出的馒头数，而  是每个馒头之间卖出的平均时间间隔，所以两者是倒数关系：每日卖出的越多自然间隔时间越短，每日卖出的越少自然间隔时间越长。

8 小结

还有未尽的一些解释，比如：

• 为什么指数分布常常用来描述电器寿命？

• 为什么指数分布和几何分布一样具有无记忆性？

这里就不一一解释了，感兴趣可以参加我们的《概率论与数理统计》课程，其中有更多更详尽的解释。