数学是一门逻辑很严密的学科,连贯性比较强,都是建立在最基本的定义、概念的基础上的;要把数学学好得多问几个为什么?多思考,得把基本的概念定义弄明白了!比如小学就学过什么叫自然数、合数、质数、分数等等,如果概念都不懂就很难学下去。我个人认为不管你学到什么时候都不要忘了最更本的概念、定义。 今天我们来研究高中数学中的三角函数,是怎么一步步演变而来的!我们先从角开始说起。 一、先有射线 射线 二、在射线的基础上我们定义了角 来看看初中对角的定义:从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 角 角是平面几何中的一个基本图形,角是可以度量大小的,在小学我们就会用量角器来度量角的大小。在平面几何中角的取值范围:0°~360° 角的分类 三、研究角的性质,初中我们在直角三角形中定义了三角函数。 直角三角形 三角函数 我们都知道在直角三角形中不存在钝角,我们在高中阶段定义了任意角: 一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形。 任意角 在此基础上我们定义了: 正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:一条射线没有作任何旋转形成的角(零角的始边与终边重合) 四、为了便于研究三角函数,于是我们将三角函数定义推广至平面直角坐标系中。 1.锐角开始,借助直角三角形中的定义 平面直角坐标系中的三角函数 坐标系中的定义 2.推广至钝角,定义不变:其中P(x,y)中,x<0,y>0 直角三角形中的钝角 三角函数定义 角推广至超过180°,甚至超过360°时,“两射线夹角”这个定义显然不能满足需求 超过180°的角 射线a与b,顺时针方向形成夹角β,逆时针方向形成夹角α,于是角的大小与方向有关。 角 射线a与b,所夹锐角为β,但超过周角大小的角α也被它们所夹,于是角的大小与是否超过周角有关。 因此,角的概念推广至:一条射线a,绕着端点旋转至终边b形成角。且逆时针旋转形成正角,顺时针旋转为负角。 把角放在直角坐标系中定义三角函数: 其中,射线a做x轴,a的端点是原点,在终边b上任取一点P(x,y),定义三角函数如下: 直角坐标系 三角函数的定义 已知角的终边为直线3x+4y=0,在α终边上任取一点P, 角终边在直线上 三角函数 由于直线3x+4y=0是由两条射线构成,因此对应两组三角函数值。 其中α可以表示成 终边相等的角的集合 任意角三角函数值只与终边位置有关,站在纯代数角考虑,要表示以直线3x+4y=0为终边的α的三角函数值,可以在终边上任取一点P(4a,-3a),则, 三角函数 下面来看一个高考题: 【2018全国I卷11】已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=2/3,则|a-b|=______. 解法一: 解法一 解法二: 解法二 |
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