|
线段中点是几何部分一个非常重要的概念，和后面学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在几何证明题中也屡次出现. 那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？ 等腰三角形三线合一；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平行线间夹中点，延长中线交平行的应用。 建立模型 模型一 倍长中线 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线. 当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种方法叫做“倍长中线”.如下图： 此时，易证△ACD≌EDB，进而得到AC=BE且AC//BE. 模型二 平行线夹中点 如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F. 我们把这种情况叫做平行线间夹中点.处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线相交.即“延长中线交平行” 此时，易证△BEF≌△CED 模型三 中位线 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另一边AC的中点，构造三角形中位线.如下图所示： 由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC. 模型运用 例1、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数. 分析：本题的证明方法有很多，比如利用“双平等腰”模型等（前文已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这里主要讲一下平行线间夹中点的做法.根据平行四边形的性质可知，AB//CD，又点E是BC中点，构成了平行线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就一定会得到全等三角形，进而得到我们需要的结果. 证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD，即AB//DF ∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE 又∵点E是BC中点 ∴BE=CE ∴△ABE≌△FCE ∴CF=AB=CD，AE=FE ∴DF=2CD, 又∵AD=2CD ∴AD=DF,又因为点E是AF的中点 ∴DE⊥AF 即∠AED=90°. 反思：对于本题，还可以延长AE至点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利用经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到结论.对于第二种方法，同学们可以自己尝试. 例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG． （1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系； （2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系， （3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系． 分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满足平行线间夹中点，所以可将DG延长与BF相交. 证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG. 如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD. ∵四边形CDEF是正方形，∴DE//CF 即DE//BC ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF 又∵点G是BF的中点 ∴GB=GF ∴△GBH≌△GDF(AAS) ∴GD=GH，BH=DF ∵DE=DC，∴BH=CD 因为△ABC是等腰直角三角形 ∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC ∴△ABH≌△ACD ∴AH=AD，∠BAH=∠CAD ∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90° ∴△DAH是等腰直角三角形，又∵点G是DH的中点 ∴AG=DG且AG⊥DG. 反思：若将正方形绕点C旋转任意角度，在旋转的过程中，上述结论还成立吗？试试看 动画链接：http://www./svg.html#posts/16428（选择复制并打开，可操作演示动画效果） (2)AG⊥DG，AG=√3DG 如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD. ∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF 即DE//BC ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF 又∵点G是BF的中点 ∴GB=GF ∴△GBH≌△GDF(AAS) ∴GD=GH，BH=DF ∵DE=DC，∴BH=CD 因为△ABC是等边三角形 ∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC ∴△ABH≌△ACD ∴AH=AD，∠BAH=∠CAD ∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60° ∴△DAH是等边三角形，又∵点G是DH的中点 ∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30° ∴AG=√3DG 动画链接：http://www./svg.html#posts/16429（选择复制并打开，可操作演示动画效果） （3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2) 证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD， ∵四边形CDEF是菱形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BE的中点， ∴BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS）， ∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α， ∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2， ∴∠ABC=∠ACD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=∠HAD=α； ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2， ∴tan∠DAG=tan(α/2)， ∴DG=AGtan（α/2）． 动画链接：http://www./svg.html#posts/16430（选择复制并打开，可操作演示动画效果） 反思：在本题的证明中，我们结合题目中给出的平行线间夹中点这一条件，将DG进行延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采用倍长中线法进行证明.下面用倍长中线法对第一种情况加以证明. 证明：如图，延长AG至点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.
在△ABG和△HEG中 BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG ∴△ABG≌△HEG ∴AB=HE，∠ABG=∠HEG ∵AB=AC∴AC=HE ∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC ∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45° 又∠ACD=180°-45°-90°=45° ∴∠ACD=∠HED 在△ACD和△HED中 AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE ∴△ACD≌△HED DA=DH，∠ADC=∠HDE ∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC 即∠ADH=∠CDE=90° 所以△ADH是等腰直角三角形 又因为点G是AH的中点 所以DG=AG，DG⊥AG. 上面我们用倍长中线证明了第一种情况，请你对第二三问加以证明. 反思：在本题的证明过程中，容易犯的一个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.而这一结论是需要证明的. 小试身手 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG. （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想. （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明. （3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.
前两问较简单，请同学们自行完成，这里只给出第三问的几种解法，仅供大家参考. 解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.
因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHD EF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH. 分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：
因为EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°. 又∠BMK=∠CMD.根据三角形的内角和，可得∠KBM=∠MDC. 所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC 所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD. 所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形， 又因为点G是斜边EB的中点， 所以CG⊥GE且CG=GE. 网址链接：http://www./svg.html#posts/16284（选中并打开网址看动态图） 解法二：如图，延长CG至点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.
以下过程可参照解法一自行完成 解法三：延长FE至点P使得EP=EF，连接BP；延长DC至点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。FQ分别与DP，DB交于点N，M.如下图：
易知，△PBE和△DBQ都是等腰直角三角形. 根据SAS可证△PBD≌△FBQ.所以PD=FQ，∠PDB=∠FQB 又因为∠NMD=∠BMQ，所以∠DMN=∠MBQ=90°. 即PD⊥QF. 又因为点G和点C分别是DF和DQ的中点，即GC是△DFQ的中位线 所以GC=1/2FQ且GC//FQ. 同理EG=1/2DP且EG//DP 因为FQ=DP且FQ⊥DP 所以GC=EG且GC⊥EG. 动画链接：http://www./singleFile.html#posts/16379（选中并复制打开，可操作演示动画效果） 例4、如图，∠MON大小确定，点A、B、C分别在∠MON的边上，A，B是动点，点C是定点，且OA=BC.取OC的中点D，AB的中点E.求证：在AB运动的过程中，∠EDB的大小不变.
解法一：如图，连接AC，作AC的中点F，连接DF,EF.
DF是△AOC的中位线，所以DF//OA且DF=1/2OA EF是△ABC的中位线，所以EF//BC且EF=1/2BC 因为OA=BC，所以DF=EF. 根据等边对等角可得，∠FDE=∠FED 由EF//BC得，∠FED=∠EDB，所以∠FDE=∠EDB 即∠EDB=1/2∠FDB 由FD//OA得，∠MON=∠FDB 所以∠EDB=1/2∠MON. 即∠EDB的大小不变. 解法二分析：根据题中的中点，可通过倍长中线.进而构造中位线. 解法二：如图，连接AD并延长AD至点G，使DG=AD，连接CG，BG.
因为点D是OC中点，根据SAS易证△AOD≌△GCD. 所以∠AOD=∠GCD且OA=CG. 因为OA=BC，所以CG=CB. 所以∠CBG=∠CGB=1/2∠GCD. 又因为点E是AB的中点，所以DE是△ABG的中位线 所以DE//BG，所以∠EDB=∠CBG=1/2∠GCD 又因为∠AOD=∠GCD 所以∠EDB=1/2∠AOD=1/2∠MON. 解法三：如图，连接CE并延长CE至点H，使得EH=CE.
具体做法请同学们自行完成. 动画链接：http://www./svg.html#posts/16288（选中复制并打开操作演示动画效果） 反思：本专题我们主要探究了当题中出现中点的时候，通过倍长中线或构造中位线，将分散的条件集中起来，使问题得以解决.当然在运用的过程中，还需大家认真体会，不断总结.  |
|
|
