小学数学单元教学路径微调的实践与思考

小学数学单元教学路径微调的实践与思考

浙江省余姚市第一实验小学 / 朱震绯

有三种逻辑推动着教学的前进，它们是：教材的编写逻辑、学生的探究逻辑、教师的教学逻辑。理想的状态下，这三者之间应该是互相重合，形成教育合力的，而现实并非如此。在更多的时候，这三种逻辑之间是不重合的。由此，我们可以假设：如果三者之间的逻辑相符，那么其结果将是学生学得愉快，教师教得开心。反之，必定是学生学得被动，教师教得别扭。进一步假设，当三者逻辑不一致时，我们究竟该让谁去迁就谁？

现 状

单元，是相对于课时而言更具有完整性的大教学单位。在小学数学教材中，数学知识、技能、思想方法的学习与感悟是通过“单元”的形式呈现和展开的。因此，对于“单元教学”的研究，历来是研究的热点。

对近年来单元教学的研究进行梳理和整合，我发现有这样一些观点值得我们深思。①将单元中不同课时的作用与价值分为“起、承、转、合”四个模块，让我们看到了单元内部联系的重要性；②将单元中的“新授课、练习课、复习课、考查课和讲评课”作为模块指标，进行系统研究和教学设计，以解决课型之间割裂、断层的问题等；③基于课堂自然生长的视角，提出了“种子课——生长课”的微单元系统与“单元——单元”的超单元系统的教学体系架构；④提出了学科个性化教学单元的构想，通过教学目标的调整、教学内容的重组、学习任务的设计实现“个性化教学”，等等。

若用上文中的三种逻辑去分析，可以发现上述研究中的有些视角还是停留在教材的编写逻辑上。单元教学内容的“起、承、转、合”关注的是教材内在的“序”；以“课的类型”开展模块化的教学关注的是形式上的联结。固然，数学知识有其内在的严密逻辑，这不容置疑。但我们或许可以换个角度思考，教材的编写逻辑不等于数学知识的逻辑。当理想状态下的“教材的编写逻辑、学生的探究逻辑、教师的教学逻辑”三者不一致，无法形成教育合力时，我们可以做什么？

但是，依然有研究激发了我的灵感：“种子课—生长课”的微课程系统与“单元—单元”超单元结构体系；促进不同水平学生的基础性目标和发展性目标达成的“个性化教学”等。这些研究让我认识到：当三种逻辑不合一时，我们首要考虑的是“学生的探究逻辑”。

探 索

“单元教学路径”是指教师单元教学时所采取的教学逻辑。不用“课时”的字眼进行表述，是避免落入“课时有毒”的圈儿。因此，借用“路径”一词表达我心中的单元教学结构。微调指的是根据学生的实际，在现有的数学学科框架下通过调整呈现内容的顺序、形式，拓展和补充学习资源，改变学习方式等以改变单元教学路径。单元教学路径的微调并非对原先教学路径的否定，而是基于学生学情的对原先路径的整合与拓展。

1.基于生长连续性的内容重组

人教版四年级上册《大数的认识》是学生整数学习阶段的结束。“大数的认识”即万以上数的认识，是在学生认识和掌握了万以内数的基础上学习的，是万以内数的认识的巩固和扩展。本单元教材的编写逻辑如下。

表1：

亿以内数的认识	认识十万、百万、千万、亿；亿以内的数位顺序表，亿以内的数的读写、比大小、改写、求近似数
数的产生	介绍古人的计数法、计数符号的产生发展，介绍阿拉伯数字，自然数。
十进制计数法	认识计数单位“十亿、百亿、千亿”，将数位顺序表由万级扩展到亿级；十进制计数法。
亿以上数的认识	亿以上数的读写、比大小、改写、求近似数。
计算工具的认识	计算工具的发展历程；介绍算盘，电子计算器。
用计算器计算	用计算器进行四则运算，探索规律。

从表1中可以发现，亿以内数的认识与亿以上数的认识这两块内容的教材编排逻辑几乎一致。分段认识，分散了学生学习的难点，可以让学生有一个缓冲的节奏，培养学生的迁移自学能力。但教材这样的好意，学生却未必领情。

实际教学中，在第一课时里认识亿以内的计数单位时，课至“亿”这个计数单位的教学节点时，学生就已经迫不及待地说出了后面的计数单位“十亿、百亿、千亿”。这是水到渠成的事，是学生经验的自然迸发。如果将“亿以上的计数单位”放在第二部分学习，带来的后果就是学生的学习兴趣已大打折扣，学习的连续性也被打断。于是乎，我思考：“大数的认识”单元教学路径一定是这样吗？可以怎样微调？

对比其他版本的教材，或许我们可以发现一些新思路。关于大数的认识，我对“北师大版、苏教版、上海版、浙教版、青岛版”等教材进行了如下对比。

表2：

北师大版	认识十万→十进制计数法→读写万以上的数→改写、求近似数→自然数
苏教版	万级的计数单位→含有两级数的读写→亿级的计数单位→含有三级数的读写→改写、比较大小、求近似数
上海版	十进制计数法→万以上数的读法、写法→改写、求近似数
浙教版	十进制计数法→万以上数的读法→万以上数的写法→自然数（不同册）
青岛版	十进制计数法→万以上数的读法→万以上数的写法→改写→求近似数

通过对比，我发现，关于“大数的认识”一般有两类路径。一类是分段式的路径，一类是混合式路径。两种路径孰优孰劣？基于上述对学生学习现实状态的分析以及教材对比不同路径的可能性，我决定沿着这样的路径展开“大数的认识”的学习：十进制计数法——大数的读法和写法——大数的比较大小——大数的改写和求近似数——自然数、计数工具——有趣的二进制。

在实际教学时，我和学生一起从“十万”开始走起，借助已有的“十进制关系”顺利地引出了后续的到“千亿”为止的所有计数单位。紧接着，我们讨论：“为什么万后面的新计数单位不取一个新名字？为什么千亿后面不按照刚才的规则下去，不说万亿，要说亿？你觉得什么时候可能又会需要一个新的计数单位名字？”整合后的计数单位教学路径，可以让学生更加清楚地理解单位彼此之间的紧密联系，其背后的育人价值也有了更深长的意味。它让学生体味到规定的深意。在教学万以上数的读、写、比较大小时，由于知识间相同的“理”，课堂上的学习就更能发挥学生的学习主动性。虽然整合带来一定的难度，但这样的难度是适度的。适度的难度带来的学习挑战性使得学生在课堂上兴致盎然，学习更有劲头。

不同的路径意味着不同的逻辑，但只有适合学生的逻辑才是教师应该选择的。

2.基于学生学习规律的路径架构

学生的认识发展往往遵循着一定的规律，这是学习的规律，也是教学所要遵循的规律。如认识图形时，根据范希尔理论，学生一开始往往只关注图形的整体特点，然后开始注意图形元素的单一性质（先是长度，然后是角度），最后才能同时兼顾图形及其元素的多种性质。而这样的规律正是我们设计单元教学路径所要考虑与遵循的。

人教版四年级下册《三角形》的单元教学目标是：在第一学段直观认识三角形的基础上，通过观察、操作、推理等活动进一步丰富学生对三角形的认识与理解。其编写逻辑是：三角形的定义——稳定性——三边关系——三角形的分类——三角形的内角和——四边形的内角和。细细品味，我们可以悟到：教材的编排顺序使得知识点之间的逻辑不够严密，整体认识与局部深入的顺序不够顺畅。

此外，从对学生的前测中，我们也看到了单元教材编写的逻辑不符合学生的探究逻辑。我对所在年段的160名四年级学生进行了前测。从前测的结果看，学生最想了解三角形的前3个问题是：分类、面积、特性。这样的结果是符合学生的已有经验的。学生在之前的学习过程中，已经储备一些认识图形的数学活动经验，分类是认识图形的一种方法，因此学生首先想了解的是三角形的分类。对三角形的大小的兴趣是对图形直观的感受。因此，学生对面积的兴趣也非常浓厚，对面积的兴趣也就是对底和高认识的基点。对三角形特性的兴趣基于对四边形特性的了解，学生产生了合情推理：三角形的特性是什么？三角形会变形吗？

基于以上分析，我将该单元的教学路径进行了调整，使其遵循从“整体到部分”的认识顺序。根据这一思考，我将该单元的教学内容进行如下整合。

表3：

路径	设计意图与说明
三角形定义与分类	路径的前三个内容是从整体特点出发感知三角形。第四、五两个内容是从单一元素“边”和“角”入手进一步理解三角形。 笔者先带领孩子从整体上认识三角形，分为两个层次：一是从外部入手认识三角形的定义以及类别，整体感知形状；二是从内部入手，认识三角形的底和高，从“图形的大小“认识”三角形。 其次，我们再从局部入手深入理解三角形，也分两个层次：一是从三边关系研究认识三角形，而是从三个角之间的关系研究认识三角形。
三角形的底与高
三角形的特性
三角形的三边关系
三角形内角和
四边形内角和

深度学习理论指出，学生的深度学习一般要经历这样几个过程：预备与激活先期知识，获取新知识，深度加工知识，评价学习。要想让学生进行深度学习，就要从与先期知识联结最紧密的地方入手。调整后的单元教学路径从学生与先期知识联结最紧密的地方入手，遵循了学生认识图形的规律。我认为，微调后的教学路径优于原先教学路径。

3.基于学生概念内化的路径调整

人教版四年级上册《平行四边形和梯形》中关于“平行四边形和梯形的认识”，教材原先的安排是：平行四边形的概念和高的认识——梯形的概念和高的认识。

在小学图形与几何概念体系中，有些概念处于核心、枢纽的位置，我们称之为“核心概念”。“平行”与“四边形”就是这样一组核心概念，且两者在平行四边形和梯形的概念定义中分别承载“种差”和“临近属概念”的上位概念身份。平行四边形的概念是以“属+种差”的方式下的定义。从这一点上看，平行四边形和图形的概念形成是同一次“属+种差”扩展的结果。而教材人为地将两者分开教学，我认为，这将导致学生无法很好地联结起两者。再者，平行四边形与梯形的高从本质上来说是一样的，它们都是平行线间的垂直线段。从这样的视角分析，教材的编写逻辑阻碍了学生的概念内化。

基于以上思考，我将平行四边形和梯形的认识路径作了如下微调：平行四边形、梯形的认识——平行四边形、梯形的高。将平行四边形和梯形放在一起进行教学，能让学生经历“属+种差”的概念发生过程，同时通过不同种差——对边平行数量的多少来联结“平行四边形与梯形”，将两者的高放在一起进行教学，最大限度保证“高”认识的完整性。

4.基于核心素养的时空拓展

近年来，关于“核心素养”的讨论异常热烈。在众多的观点中，我最喜欢的是曹培英先生的核心素养的三棱台图（如图1）。

 图1

抽象、推理、模型思想是最基本的数学思想，其他的数学思想都可看作是这三种数学思想派生出来。这三个思想构成了数学学科第一层次的核心素养。模型思想还蕴含了应用意识，符号意识可以并入抽象，因为符号是数学抽象最主要的语言表征。运算能力、空间观念和数据分析观念则构成了数学学科第二层次的核心素养。第一层次的核心素养整体作用于第二层次的核心素养。核心素养“热”的背后，说明了数学教育者对于“人”的尊重，追求的是数学的育人价值。基于学生核心素养的时空拓展是对单元教学路径的弥补与丰厚，其关注的是学生发展的需求，是知识背后的软目标。

（1）基于知识纵深的拓展。以北师大版四年级下册《小数乘法》中的一道习题为例（如图2）。

图2

（a+b）×（c+d）=ac+ad+bc+bd的过程是分解因式的过程，基础是乘法分配律。乘法分配律在后续的学习中非常重要，比如概率、高中生物的基因学、大学矩阵等。而在小学阶段，乘法分配律又是学习的难点。于是，反过来思考，小学阶段的乘法分配律局限于（a+b）×c=ac+bc，是不是妨碍学生发展的一个点？是否给了学生更多的乘法分配律的应用后，会让学生有更深刻的体会，反而对学生有所帮助呢？

我在《小数乘法》单元教学时，尝试开展了《分解因式》的拓展课。在课中，我和学生一起观察、猜想、发现、概括，在课末与乘法分配律的沟通与对比中，学生说出了自己的感受——这是乘法分配律的升级版本。如此这般，拓展的是视野，联结的是能力。

（2）基于文化厚度的拓展。在合适的时间，在合适的地点，让历史的因子渗入学生的血液，在历史的长河中感受属于数学的温暖，感受数学内在的美妙与精神。总有一天，学生会感谢我们今天的尝试。

在人教版四年级下册《大数的认识》单元，我带着学生一起走进二进制的世界。在执教《有趣的二进制》一课时，我引导学生在“计数器上用0和1拨一拨数；用0和1写一写数；试着把十进制的数换算成二进制，尝试沟通二进制、十进制甚至更多计数法之间的联系”。我通过这样的数学史活动课，帮助学生进一步理解十进制计数法，进一步体会计数法思想。在人教版六年级上册《圆》单元教学时，我开展了史料阅读课《古人与圆面积》。学生课前完成阅读资料（如图3），课中通过小组交流集体分享，感悟人们在追求圆面积时的不懈努力。这样的课，让整个圆的学习路径有了一次温暖的人文体会；这样的补充，是对单元教学路径的锦上添花。

《古人与圆面积》阅读资料

《莱茵德纸草书》（古埃及，公元前1850～前1650年成书）第48题。

已给圆田的直径是9亥特，问，它的面积是多少？答：64塞塔。

解：减去直径的九分之一，即减去1，余数为8。8自乘，得64，所以所求面积是64塞塔。（如下图）

你能写出解答中的计算过程吗？(9-1)²=64

如果把这个计算过程推广为圆面积计算公式，即为S=（8d/9）2，如果把它推导成现在的圆面积的计算模式，即为S=(8*2r/9)2=256/81r2。其中的相当于圆周率，约为3.1605。

这个公式是怎么得到的呢?

（阅读材料来源于邵汉民的《小学数学史料与数学教学》）

叶圣陶先生认为，教师的教学要从“教教材”转向“用教材教”。单元教学路径微调的尝试正是我基于学生的“用教材教”的实践。单元教学路径的微调是基于学习经验、学习兴趣、学习规律的内容重组、结构整合，也是基于核心素养养成的路径拓展。而这一切的一切，都只是为了让“教材的编写逻辑、学生的探究逻辑、教师的教学逻辑”这三者达成一致，形成教育合力。

关乎单元教学路径的思辨，我经历着这样的炼狱——是怎样？一定是这样吗？还能是怎样？路径不是唯一的，它只代表了我对于学生与教材的理解，期待同行的批评指正。

集思广益，交流思考；

凝聚共识，一起成长。

微信号：langlangzj