矩阵乘法到底是什么意思？

引言

每次看到矩阵这个单词，就想到了Matrix，而Matrix在《黑客帝国》里被翻译为“母体”。矩阵，行列式，Matrix基本上是同一个意思。在大学里有《线性代数》这门课，这是专门介绍行列式的课程。

矩阵在计算机计算里非常重要，目前，很多人工智能都要利用矩阵算法。

1.二元一次方程

在介绍矩阵前，先看一下初中的二元一次方程的解法：

要解这个方程：
step1: 把(1) 式乘以2减去(2) 式，消去x， 得到 -y=-1，所以 y=1 
step2: 把(1)式乘以3减去(2)式，消去y，得到2x=2，所以 x=1

是就是传统的消元法解方程方程。把上面方程更抽象写成

因为在求方程时，等号右边的是常数，你能想象出，常数最终可以移到左边，使得等号右边为0，因此，我们最关心的方程的系数。

由方程的系数，组成了最原始的行列式。

在上面消元法可以推广到有n个变量的情况，最终，这些系数可以组成一个矩阵。

2.矩阵的加法

既然有矩阵，可以很容易实现矩阵的加法（减法可以看成加法的逆运算）。

矩阵的加法就是对应元素相加， 这非常好理解。

如果用A,B表示2个矩阵，那么 A+B=B+A

3.矩阵的乘法

和矩阵的加法相比，矩阵的乘法一直很难理解。先看矩阵乘法怎么算的：下面是一个矩阵乘法：

教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。

下面表示了如何58的： 1*7+2*9+3*11=58

为什么矩阵要这么算？更奇怪的是，如果用A,B表示两个矩阵，通常 A*B≠B*A

这和我们通常看的数学乘法：2*3=3*2 完全不一样？

太神奇了！

4.巴士车费

让我们根据日常生活，来理解一下矩阵。

假设有一班巴士从A站出发，经过BCD三站到达E这个终点站。这个车的收费沿用了我们怀旧时代的老传统，不是上车一律给2块钱，而是根据起点和终点来单独计费。

我们不妨订一个收费标准：A站和B站之间是1块钱，B和C靠得比较近，0.5元。C和D之间还是1块钱，而D和E离得远，2块钱。这样一来车费就容易计算了，比如我从B站上车到E站，那么我就应该给0.5+1+2=3.5元作为车费。反过来，如果我从D站上车到A站，那么道理是一样的：1+0.5+1=2.5块钱。

现在如果让给乘客设计车费计算公式，你怎么设计？

你说：这个问题很简单，车费问题实际上就是两个站之间的距离问题，我们只要把每一个站的位置状况写出来，那么乘客们就能够一目了然了。于是你就假设，A站的坐标是0，从而推出：B站的坐标是1，C站的坐标是1.5，D站的坐标是2.5，而E站的坐标是4.5。这就行了，你说，车费就是起点站的坐标减掉终点站的坐标的绝对值， 所有的情况都完全可以包含在下面这个表格里：

这便是一种经典的解法，每一个车站都有一个绝对坐标。但是，这里似乎有又哪里不对劲。

5.车费的二维表

你似乎也感觉到了，上面计算好想是正确的，但是并不是作为“乘客”想要的。

作为一个乘客，对你来说，你根本不关心车站有什么“绝对坐标”。比如我从C站乘车到D站，无论怎么样我也无法观察到“C站的坐标是1.5”，或者“D站的坐标是2.5”这个结论。作为我——乘客来说，我所能唯一观察和体会到的，就是“从C站到达D站要花1块钱”，这才是最确凿，最坚实的东西。我们的车费规则，只能以这样的事实为基础。

因此，你重新设计了车辆费用计算方式，如下：

这里面，横坐标是起点站，纵坐标是终点站。现在这张表格里的每一个数字都是实实在在可以观测和检验的了。比如第一行第三列的那个1.5，它的横坐标是A，表明从A站出发。它的纵坐标是C，表明到C站下车。那么，只要某个乘客真正从A站坐到了C站，他就可以证实这个数字是正确的：这个旅途的确需要1.5块车费。

6.物理解释矩阵乘法

现在给你一个矩阵乘法：

那么如何计算这个乘法的结果呢？

参考车费问题上面2个矩阵，可以代表2个车费表，分别用I和II表示。 那么现在我们的I和II就分别成了两条路线的旅游巴士，在两个城市之间来往，只不过收费有所不同而已。我们把它们称为巴士I号线和巴士II号线。为了再形象化一点，我们假设这两个城市是隔着罗湖桥比邻的深圳和香港。

这样的话，我们的表格就有了具体的现实意义。如前面已经说明的那样，表的横坐标是出发站，纵坐标是终点站。所以对于巴士I号线来说，在深圳市内游玩需要1块车费，从深圳出发到香港则要8块钱。反过来，从香港出发回深圳要7块钱，而在香港市内观光则需3块。II号表格里的数字与此类似。

好吧，到目前为止一切都不错，I×II到底是多少呢？这种运算代表什么意义呢？和我们的巴士旅游线又有什么关系呢？ 首先要把握大方向。I是一个2×2的表格，II也是一个2×2的表格。那么，我们有理由去猜测，它们的乘积应该也是一个2×2的表格。

位于左上角的a是多少呢？是不是简单地把I号表左上角的1乘以II号表左上角的2，1×2=2就行了呢？我们要时时牢记车费表的现实意义：左上角代表了从深圳出发，还在深圳下车的总车费。1×2的确符合要求：先乘I号线在深圳游玩一阵，随后原地下车再搭II号线再次市内游！总的路线是：深圳→深圳→深圳。起点和终点都在深圳，坐标在左上角，没错！

但是，我们忽略了另一条路线！左上角的a要求从深圳出发，最后在深圳下车，却没有规定整个过程全都在深圳市内！实际上，很容易想象另一条路线：深圳→香港→深圳，它依然符合起点和终点都在深圳的要求。这样一来，我们必须先搭I号线去香港（收费7元），在香港转搭II号线回深圳（收费6元），它们的乘积是7×6=42！

a最终的数值，应该是所有可能路线的叠加（深圳→？→深圳）。在本例中，只有上述两条路线，没有第三种可能了。所以a=1×2+7×6=44。

很奇妙，是不是？我们再来看右上角的b。深圳出发香港下车，同样也有两种可能的路线：深圳→深圳→香港，或者深圳→香港→香港。要么先乘I号线深圳市内游再搭II号线到香港（1×5），要么先乘I号线到香港然后转II号线香港市内游（7×4）。所以综合来说，b=1×5+7×4=33。

用同样的方法，可以求出c和d。最后应该是这样的：c=8×2+3×6=34，d=8×5+3×4=52。所以：

7.矩阵乘法为什么不满足交换律？

在介绍矩阵时，知道 两个矩阵的乘积A*B并不等于B*A。接着上面列子，我们把矩阵换过来

我们来看看a是什么，现在我们是先乘搭II号线，然后转I号线了。我们可以先搭II号线在深圳市内转搭I号线再次市内游（深圳→深圳→深圳），对应的是2×1。另外，还有一条路线：深圳→香港→深圳，所以是先搭II号线去香港，在那里转搭I号线回深圳，所以是5×8=40。所以总的来说，a=2×1+5×8=42。 所以这个42并不等于44，两个矩阵并不相等。

参考下图： A*B矩阵不等于B*A矩阵，

现在你理解矩阵乘法为什么不支持交换律的了吧？

申明：本文主要参考《上帝掷骰子吗》是2006年01月01日辽宁教育出版社出版的图书，作者是曹天元。这是我见过对矩阵乘法解释最好的一本书。