【原】线性空间的基本概念

线性空间的基本概念

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1.1：定义和基本例子

[线性空间]设是一个集合，是数域，在中定义了加法：对任何的按照某种法则对应唯一的元素,记为；在与之间定义了数乘运算，对任意的按照某一法则对应中唯一的元素，记为.至于这两种运算是什么，我们暂时不知道，它依赖于具体的定义.

其次这两种运算还满足一下8条算律：

1. 对任何的
2. 对任何的
3. 存在使得，对任何的有记0为零元.
4. 对任何的,存在使得：.
5. 在数域中存在使得
6. 对任何的都有
7. 对任何的都有
8. 对任何的都有

则称是数域上的线性空间.(一定注意到，说线性空间时一定要指明是针对那个数域的，本书如果不做说明的话就在复数域上考虑.)

例一：矩阵空间：数域上的阶矩阵构成的集合，按照矩阵的加法和矩阵的数乘定义，那么是数域上的线性空间.

例二：取为实数域，为有理数域，定义加法和数乘都为自然加法和乘法(\ls{注意到，本书对线性空间的第二种运算均称为数乘而不成为乘法}),那么是数域上的线性空间.(但反过来就不成立，取为有理数域，为实数域不成立，请思考为什么.)

例三：取数域上的一元多项式的全体构成的集合为,数域为,也是数域上的线性空间.

1.2：基本性质

我们不加证明的给出以下性质，如果学过近世代数之后可以直接看出：(这些性质是因为是一个Abel群，可以将看为数域上的模.)虽然向量空间是线性空间的一个特例，但是我们仍然习惯称线性空间中的元素为向量.

1. 零向量唯一.
2. 负向量唯一.(如果,那么记为的负向量.)
3. 加法具有消去律.即.
5. 如果.

1.3 基本概念

由于我们在向量空间中已经引入过类似的概念，在这里我们直接引用，不加证明.

[线性表出] 设 是数域 上的一个线性空间, 是 中一组向量, 是数域 中的数,那么向量

称为向量组 的一个线性组合. 此时我们也说向量 可以用向量组 线性表出.

[等价]设

是 中两个向量组.如果 中每个向量都可以用向量组 线性 表出,那么称向量组 可以用向量组 线性表出. 如果 与 可以互相线性表出,那么向量组 与 称为等价的.

[线性无关] 线性空间 中向量 称为线性相关,如果在数域 中有 个不全为零的数 ,使

如果向量 不线性相关,就称为线性无关.换句话说，向量组 称为线性无关,如果等式 只有在 时才成立.

[秩于极大线性无关组] 给定中的一组向量，如果它的部分组满足以下条件：

1. 是线性无关的;
2. 原向量组的任何一个向量都可以由这部分向量组线性表出. 则称是原向量组的一个极大线性无关组，这组向量中包含的向量的个数称为原向量组的秩.

我们已经见识过了向量空间中的线性相关与无关的例子，现在看一些特殊的：

[函数空间] 设是闭区间上全体连续函数的构成的集合，取,定义加法函数的加法，数乘为实数与函数的乘法.不难验证这是实数域上的线性空间，考虑的线性相关性.

证明设,使得：

由于后边是个变值，所以不成立.

例四：取数域为有理数域，空间为，证明：线性无关.以后很多例题都会留作练习.

1.4:基与坐标

[基与维数] 设是数域上的一个线性空间，如果向量满足：

1. 中任何一个向量都可以由线性表出；
2. 线性无关.

那么就称为的一组基.称为维线性空间。.

由向量空间类似的结论，我们立刻可以得出，任何一个为线性空间都有一组基，且任何任何两组基的秩是相同的.任何个向量必定线性相关.

举一些例子：

例四：例一中线性空间的维数为,一组基为.

例五：维向量空间的一组基为,表示第个位置为1，其他全为0.

例六：设为维向量空间的一组基，数域上的一个可逆矩阵，那么仍是一组基.(因为有个，且线性无关.)

例七：设次数不超过的全体多项式和0组成的集合，在数域上按照正常加法和数乘构成的线性空间，记为(以后不做说明时，均表示这个含义.)证明:

是该空间的一组基.(以及本书所指的数域均为按照正常加法和乘法定义的数域，且至少包含有理数域作为子域.)

证明  设,且：

我们知道左边如果不为0，那么至多有个根，不矛盾，所以.所以他们线性无关，他们确实可以线性表出上的所有多项式.

例八：取,,那么这个线性空间是2维的，一组基为,如果,那么就是一维的，一组基为.

因此要深刻体会到，数域在线性空间中的作用，我学高代的时候，从来没有注意这一点....

例九：证明是实数域上的无限维向量空间.

证明：假设是个有限维，不妨设为维，取各不相同，证明他们线性无关，所以矛盾了.

对其做次微分，然后建立方程组，利用范德蒙德行列式证明该方程组仅有零解.得到矛盾.(具体操作留作习题.)

1.5:坐标与坐标/基变换

设是数域上的维向量空间，而是它的一组基.我们知道任何一,它由这组基唯一表示 ：

我们称为向量在这组基下的坐标.可以写为：

设是数域上的维向量空间，是它的一组基设，为矩阵的第列，且

那么线性无关的充要条件是可逆。

提示：用线性方程组.

设在 维线性空间 内给定两组基

每个 都能被 线性表示. 设

那么我们可以写为：

就称为是基到的过渡矩阵.}\ls{请千万注意到矩阵式怎么写的，以及的下标是按什么顺序的.

并且我们有如下定理：

在数域 上的 维线性空间 内给定一组基 , 是 上一个 阶方阵. 命

有

(i) 如果 是 的一组基,则 可逆;

(ii) 如果 可逆,则 是 的一组基.

提示：还是可以用线性方程组.

下边考虑如何求两组基之间的过渡矩阵：

设第一组基为

笛

我们把第一个基组成的矩阵记为,第二个记为,所以有：

所以第一种求的方法直接求.

第二种：我们直接对做初等行变换使其变为单位阵：

所以左边为单位阵,右边,所以在我们用初等变换将变为单位阵时，可以将同样的操作作用于上，最终得到的结果就是就是.

最后我们看看坐标变换：如果给了两组基

记第一组为,第二组为,那么：

其中是到的过渡矩阵.设在第一组基下的坐标为,第二组基下坐标为,那么就有：

由于是可逆阵，所以,因此如果我们知道了在第一组基下的坐标，以及第一组基到第二组基的过渡矩阵，那我们就可以计算在第二组基下的坐标了.

1.6:习题

1.考虑 维线性空间 , 它的一个向量 为 的个一元多项式

其他它在基下的坐标，以及证明：

也是它的一组基，并求在这组基下的坐标. 

2. 给定如下 3 阶方阵

, 的实系数多项式 的全体组成的集合关于矩阵加法、数乘 组成实数域上线性空间,求它的维数和一组基. 

3. 给定数域 上的一个 阶方阵 . 设

是使 的最低次多项式. 设 是由系数在 内的 的多项 式的全体关于矩阵加法、数乘所组成的 上线性空间,证明：

是 的一组基, 从而 求 中向量

在这组基下的坐标.

证明：

也是 的一组基. 求两组基之间的过渡矩阵 :

4. 考察数域 上线性空间 . 给定 上 个两两不等的 数 令

(记号“”表示去掉该项). 证明 为 的 组基.

4. 给定数域 上 个两两不等的数 . 又设 , 是 内任意 个数. 找出 上次数 的多项式 , 使