时与日迁，悲欢与共。是气沉年，人世沧流。自斟自酬，尽数春秋。前途无光，何必回顾。世事汹涌，万类争渡。天生自在，逍遥长驻。长风浩荡，寥落四合。以勘破何？怎敢自欺？雾中执迷求索，待云天开阔格尽万物。
1.1线性空间
空间：就是集合，是一种具有特殊性质及一些额外结构的集合。
定义1.1.1:(n维向量)若n维向量写成
的形式，称为n维列向量（至于n维行向量脑补），这n个数称为该向量的n个分量。
定义1.1.2：(向量空间).设V是n维实向量的非空集合，若V对向量的加法和数乘两种运算都封闭，则称集合V为向量空间。
定义1.1.3(数域)设F是非空数集，若F包含0与1，且F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在该数集，即对四则运算封闭，称该数集F为一个数域。
定义1.1.4(加群)在非空集合V上定义一种代数运算，称之为加法（记为“+”），使得都有V中唯一元素与之对应，钙元素称为与的和，且满足如下性质：
（1）交换律:
（2）结合律:
（3）存在零元素
（4）,存在元素使得
称V在加法运算下构成一个加群，记为(V,+).
定义1.1.5(线性空间)设(V,+)是一个加群，F是一个数域.定义了F中的数与V中元素的一种代数运算，称为数乘，使得有V中唯一元素与之对应称为与的积。此时，V称为数域F上的线性空间，记为(V,+,·)，V中元素称为向量。
当F=R时，集合V称为实线性空间；当F=C时，集合V称为复线性空间。
1.2线性子空间
定义1.2.1(子空间)设V是F上的线性空间，W是V的非空子集.若W中的向量关于V的加法和数乘运算也构成F上的选型空间，则称W是V的子空间。
注：子空间V和称为V的平凡子空间。
定理1.2.1(子空间判定定理)设V是F上的线性空间，W是V的一个非空子集，以下命题等价：
(1)W是V的子空间
(2)a.有$
b.有
(3)和,有
注：检验子空间首先观察零向量是否存在于W中
注：设是V的子空间，则不是V的子空间
定理1.2.2和空间与交空间是数域上线性空间的子空间。
注：任一实方阵可分解为对称阵和反对称阵之和。
定义1.2.2(矩阵零空间)设,则矩阵的零空间（或核空间）定义为其次线性方程组的解集，记为
定义1.2.3(矩阵列空间)设则矩阵A的列空间（或值空间）是由A的列的所有线性组合组成的集合，即
定义1.2.4若是线性空间V一组向量，记则称W是由向量组张成（或生成）的子空间，记为
1.3基与坐标
(线性相关与线性无关)设V是F上的线性空间，是V中的一组向量。若向量方程只有平凡解，即，则称向量组线性无关；否则称向量组线性相关。
注：单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关
注：线性无关向量组的任一子集是线性无关的；线性相关向量组的任意扩集仍是线性相关的。
注：向量组中的任一向量都可由极大线性无关组唯一表示
注：中的任意向量都可由向量和唯一表示。向量和给强加一个“坐标系”。
注：在线性空间，明确一组基的重要原因在于给线性空间强加一个“坐标系”
注：有了基，便有了坐标，基是坐标的motive
1.4内积空间
内积空间满足：共轭对称性、可加性、齐次性、正定性。有限维的实内积空间称为欧几里得空间。有限维的复内积空间称为酉空间。内积空间的维数☞它作为线性空间的维数；它们的线性子空间仍是内积子空间。
定义(Hermite矩阵)：设，若,则称矩阵A是Hermite矩阵；若,则称A是反Hermite矩阵。
定义(正定矩阵)设
是未定元向量，A是Hermite矩阵，定义复二次型称A为的矩阵。若，则称是正定二次型，A是正定矩阵，若，则称是半正定二次型，A是半正定矩阵注：同一线性空间可定义不同的内积
注：内积空间中内积与度量矩阵是一一对应的
1.5向量长度与夹角
定义(长度)设F是实数域或复数域，V是定义在F上的内积空间,实数称为x的长度（模），记为.长度为1的向量称为单位向量
注：实数的绝对值和复数的模值都是向量长度的特例
定理(Cauchy——Schwarz不等式)设V是F上的内积空间，，有其中，当且仅当x,y线性相关成立
注：定义不同内积可得到不同的Cauchy不等式
定义(向量夹角)设V是内积空间，,定义向量x和y的夹角为
注：引入内积至线性空间才有了向量夹角的概念，为线性空间带来了“图形化的理解”
注：零向量与任何向量均正交，正交向量要求向量均为非零向量。
注：正交向量线性无关
注：在n为内积空间中，正交向量组中的向量不会超过n个
定义(标准正交基)：在n为内积空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基。由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
注：线性空间V的向量组是标准正交基当且仅当V关于该向量组的度量矩阵为单位矩阵。在标准正交基下，内积的运算变得更加简单。
1.6直和与投影
定义(直和与直和分解)设与是线性空间V的子空间，若和空间中任意向量均唯一地表示成中的一个向量和中的一个向量之和，则称的直和，记为,特别地，若,则称之谓直和分解。
定义(投影)设W1和W2是线性空间的两个子空间且均可唯一地分解成，其中,此时称向量y为向量x在W1上的投影
定义(向量正交于子空间)设V是内积空间，W是V的子空间，向量,若,有,则称x
正交于子空间W，记为
定义(两子空间正交)设W1与W2是内积空间V的子空间，若,有,则称W1与W2是正交的，记为
定义(正交直和与正交直和分解)设W1与W2是线性空间V的子空间，若W1W2,则称直和是其正交直和，记为，则V=称为正交直和分解
定义(子空间正交补)设W1是V的线性子空间，则集合称为W1的正交补。
注：设W1是线性空间V的子空间，则集合是V的线性子空间
注：在正交直和分解中，子空间W1确定的正交补空间是唯一的，这也说明正交直和分解是唯一的，同直和分解相比，若子空间W1给定，那么与W1构成直和分解的空间，就有无数个，因为任一通过原点，且不包括直线W1的平面W2，都与W1的和空间是直和。
