2019高考100题之076(数列6)

       分析：

       同昨天的题一样，首先消掉S_n，得到：

       a_n+1=4a_n-4a_n-1，(n>1).

       该题第一问给了提示，如果没有给提示，这就属于比较困难的一类递推问题了，具体的构造技巧我就不赘述了.

       原因是高考数列题的位置靠前，这类递推不给提示的可能性是很小的.

       由提示显然可以在上式左右两侧减去2a_n，得：

       a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2(a_n-2a_n-1),(n>1)，

       即b_n=2b_n-1，(n>1).

       又a₁=1，S₂=4a₁+2=6，所以a₂=5，

       所以a₂-2a₁=3.

       所以{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列.

       即b_n=a_n+1-2a_n=3×2^n-1.

       对于上述递推，我在2019高考100题之073(数列4)中介绍过做法，两侧可以同时除以2ⁿ，只不过该题给了提示，我觉得文科卷肯定会提示，理科有可能不给提示，所以理科同学应该掌握这个方法.

       这道题的提示是让我们两侧同时除以2ⁿ⁺¹，得到：

       c_n+1-c_n=3/4，即{c_n}为首项为1/2，公差为3/4的等差数列.

       所以c_n=3n/4-1/4.

       即a_n=(3n/4-1/4)×2ⁿ.

       所以S_n+1=(3n-1)×2ⁿ+2.

       所以S_n=(3n-4)×2^n-1+2(n>1),又S₁=1也符合题意.

       所以S_n=(3n-4)×2^n-1+2(n≥1).

       下面我们再回忆一下对于单独给出a_n=(3n/4-1/4)×2ⁿ=(3n-1)×2^n-2时，怎么去求S_n.

       大家都知道利用的是“错位相减法”，可是很多同学总是犯错误，我们再把易错点强调一下：

S_n=2×2^-1+5×2⁰+8×2¹+...+(3n-4)×2^n-3+(3n-1)×2^n-2

2S_n=         2×2⁰+5×2¹+8×2²+...+(3n-4)×2^n-2+(3n-1)×2^n-1

       上面大家基本上不会犯错，然后作差得：

S_n=2×2^-1+3×2⁰+3×2¹+...+3×2^n-2-(3n-1)×2^n-1 

       上面那个红色的减号，容易犯错写成加号.

       下一步，对于上面蓝色的等比数列求和，一共是n-1项，容易犯错写成n项，不过有的时候那个绿色的第一项也能参与到这个等比当中，那就是n项了.

       求完和之后的化简整理是很多同学容易栽跟头的地方.

       下面我们把这个结果的形式分析一下，显然蓝色的等比求和之后由两部分构成，一部分是常数，可以和绿色的合并，另一部分是2^n-1和一个常数的乘积，可以和红色部分合并提出2^n-1，当然具体提出2的多少次方要因题而异.

       总之，我们可以确定的是，对于这类题，最后一定能化成如下的形式：

(xn+y)×qⁿ+c

       这个q的次数也可以不是n，前面括号里相应改变即可.

       如果你知道这个结论的话，按照昨天的说法，那么就可以尝试着裂项来做.

       对于上题，我们可以利用待定系数法求出上述的x,y,c.

(3n-1)×2^n-2=[(xn+y)×2ⁿ+c]-[(x(n-1)+y)×2^n-1+c]

= (2xn+2y+2x)×2^n-2，

       解得x=3/2,y=-2.

       又n=1时，(3n-1)×2^n-2=1，所以c=2.

       其实这个时候你已经把答案猜出来了，裂项成功了，然后累加求和即可，当然你也可以一开始不带c，累加之后由首项求出c.

       如果你错位相减法总犯错误，可以尝试着使用上面的方法.

       但是如果你错位相减法总犯错误，上面的方法能不能看懂都是个问题，所以这个方法其实并不是弱者的避风港，而是强者的调味糖.