【原】【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第644题，数列递推式有关的题型讲解

典型例题分析1：

已知数列{an}满足a1=5，a2=13，an+2=5an+1﹣6an，则使该数列的n项和Sn不小于2016的最小自然数n等于．

解：∵an+2=5an+1﹣6an，

∴an+2﹣2an+1=3（an+1﹣2an），

an+2﹣3an+1=2（an+1﹣3an），

又∵a2﹣2a1=13﹣10=3，a2﹣3a1=13﹣15=﹣2，

∴数列{an+1﹣2an}是以3为首项，3为公比的等比数列，

数列{an+1﹣3an}是以﹣2为首项，2为公比的等比数列，

∴an+1﹣2an=3n，an+1﹣3an=﹣2n，

∴an=3n+2n，a1=5也成立；

故Sn=（3+2）+（4+9）+…+（3n+2n）

=3（1-3n）/（1-3）+2（1-2n）/（1-2）

=3（3n﹣1）/2+2（2n﹣1）≥2016，

故n≥7，

故答案为：7．

考点分析：

数列递推式．

题干分析：

化简an+2=5an+1﹣6an可得an+2﹣2an+1=3（an+1﹣2an），an+2﹣3an+1=2（an+1﹣3an），从而可知数列{an+1﹣2an}，{an+1﹣3an}成等比数列，从而求得．

典型例题分析2：

在数列{an}中，a1=a（a∈R），an+1=2an2/（4an-1）（n∈N*），记数列{an}的前n项和是Sn．

（Ⅰ）若对任意的n∈N*，都有an+1＞1/2，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若a=1，求证：Sn＜n2/4+1（n∈N*）．

考点分析：

数列递推式．

题干分析：

（Ⅰ）由an+1=2an2/（4an－1）（n∈N*），可得an+1-1/2=（2an－1）2/2（4an－1），当an+1＞1/2时，an大于1/4，且an≠1/2，反之也成立．即可得出．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=1时，an＞1/2，从而an＞0，可得an+1﹣an＜0，因此1/2＜an≤1，又可以得到等式，可得：an+1-1/2≤（an-1/2）/3．

利用递推关系与等比数列的前n项和公式可得Sn＜n/2+3/4．进而得出结论．